Решение СЛАУ методом Якоби (метод простых итераций) с использованием приложения Microsoft Excel

Пример 3.1.Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (3.1) методом Якоби.

(3.1)

Итерационные методы можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов», что обеспечивает сходимость этих методов.

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.1).

Приведите систему(3.1). к нормальному виду:

, (3.2)

или в матричной форме

,

где

, (3.3)

 

Рис.3.1.

Для определения количества итераций, необходимое для достижения заданной точности e, и приближенного решения системы полезно в столбце Н установить Условный формат. Результат такого форматирования виден на рис.3.1. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.4) тонированы.

(3.4)

 

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью e=0, 1 четвертую итерацию,

т.е. х₁=10216; х₂= 2, 0225, х₃= 0, 9912

Изменяя значение e в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А10: D20 и, используя Мастер диаграмм, постройте графики, отражающие сходимость итерационного процесса, рис.3.2.

 

 

Рис.3.2.

 

Аналогично решается система линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

 

Лабораторная работа №4

Тема. Численные методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Метод конечных разностей

Задание. Решить краевую задачу методом конечных разностей, построив два приближения (две итерации) с шагом h и с шагом h/2.

Проанализировать полученные результаты. Варианты заданий приведены в приложении 4.

Порядок выполнения работы

1. Постройте вручную конечноразностную аппроксимацию краевой задачи (конечноразностную СЛАУ) с шагом h, заданным вариантом.

2. Используя метод конечных разностей, сформируйте в Excelсистему линейных алгебраических конечно-разностных уравнений для шага h разбивки отрезка [a, b]. Запишите эту СЛАУ на рабочем листе книги Excel. Расчетная схема приведена на рис.4.1.

3. Полученную СЛАУ решите методом прогонки.

4. Проверьте правильность решения СЛАУ с помощью надстройки Excel Поиск решения.

5. Уменьшите шаг сетки в 2 раза и еще раз решите задачу. Результаты представьте в графическом виде.

6. Сравните полученные результаты. Сделайте вывод о необходимости продолжения или о прекращении счета.

Решение краевой задачи с использованием электронных таблиц Microsoft Excel.

Пример 4.1.Методом конечных разностей найти решение краевой задачи , y(1)=1, y^’ (2)=0, 5 на отрезке xÎ [1, 2] с шагом h=0, 2 и с шагом h=0, 1. Сравнить полученные результаты и сделать вывод о необходимости продолжения или о прекращении счета.

Расчетная схема для шага h=0, 2 приведена на рис.4.1.

 

Полученное решение (сеточную функцию) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, Х {1; 1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8; 2} в столбце L и B можно принять за первую итерацию (первое приближение) исходной задачи.

 

 

Рис.4.1.

 

Для нахождения второй итерации сделайте сетку вдвое гуще (n=10, шаг h=0, 1) и повторите приведенный выше алгоритм.

Это можно проделать на том же или на другом листе книги Excel. Решение (второе приближение) приведено на рис.4.2.

Сравните полученные приближенные решения. Для наглядности можно построить графики этих двух приближений (двух сеточных функций), рис.4.3.

 

 

Рис.4.2.

 

Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи

1. Постройте график решения задачи для разностной сетки с шагом h=0, 2 (n=5).

2. Активизируйте уже построенный график и выберите команду меню Диаграмма\Добавить данные

3. В окне Новые данные укажите данные x_i, y_i для разностной сетки с шагом h/2 (n=10).

4. В окне Специальная вставка установите флажки в полях:

Ø новые ряды,

Ø категории(значение оси х) в первом столбце.

 

Как видно из приведенных данных, два приближенных решения краевой задачи (две сеточные функции) отличаются друг от друга не более, чем на 5%. Поэтому за приближенное решение исходной задачи принимаем вторую итерацию, т.е.

Y {1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

 

Рис.4.3.

 

 

 

Лабораторная работа №5

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: Я.Мессенджер ВКонтакте Одноклассники Telegram Twitter Мой Мир LiveJournal

Популярное:

1. II. Однородные члены предложения могут отделяться от обобщающего слова знаком тире (вместо обычного в таком случае двоеточия), если они выполняют функцию приложения со значением уточнения.
2. III 7 Взаимодействие аллельных и неаллельных генов с решением
3. III. Борьба за разрешение восточного вопроса.
4. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
5. VIII. Дополнения из самого раннего детства. Разрешение
6. Автоматическое суммирование в таблице Microsoft Word
7. Внешние факторы, воздействующие на решение о ценах
8. Вот как выглядит версия программы разбиения строки на слова с использованием арифметики указателей.
9. Все выводы должны быть записаны в тетради ПОДРОБНО, каждый отвечающий должен уметь воспроизвести решение, не используя тетрадь.
10. Вычисление выражений с использованием стандартных функций
11. Гадание с использованием домино
12. Германские государства в первой половине XIX в. (до 1864 г.): Решение судеб Германии на Венском конгрессе. Особенности политического развития Германских государств. Первые попытки объединения страны.