Численное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Решение СЛОДУ определяется с помощью переходной матрицы для вектора начальных условий следующим выражением:

Пусть требуется получить решение СЛОДУ в узлах равномерной сетки

с известным шагом h. Для этого рассмотрим решения в двух последовательных узлах сетки, например:

Продолжая вычисления указанным способом, получим общее выражение для решения СЛОДУ на узлах равномерной сетки:

Таким образом, решение СЛОДУ задается рекуррентным разностным уравнением с постоянной (для фиксированного шага сетки) матрицей системы

Для вычисления матрицы можно воспользоваться тем, что матричный ряд

сходится абсолютно для любого h, в связи с чем величину можно вычислять путем непосредственного суммирования ряда из N членов

где .

Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений

Как было выведено ранее, математическая модель линейной динамической системы представляет собой задачу Коши для СЛНДУ:

где вектор-функция известна для любого момента времени. Найдем решение СЛНДУ. Для этого произведем замену переменных

где – решение СЛНДУ, ‚ – переходная матрица для СЛОДУ

Продифференцировав величину

по переменной t с учетом того, что в силу СЛНДУ, получим:

При переходе к последнему равенству воспользовались равенством

которое следует из представления в виде ряда.

Интегрируя выражение

на интервале получим:

Подставив в него и получим

Окончательно решение СЛНДУ будет иметь вид:

Формула для решения СЛНДУ носит название формулы Коши.

Численное решение СЛНДУ

Воспользуемся формулой Коши для построения алгоритма численного решения СЛНДУ, то есть решений , вычисленных в узлах равномерной сетки

Вычислим!!!!!!!!! в соответствии с формулой Коши:

Считая величину h малой, можно пренебречь изменением входного сигнала на интервале , то есть считать

тогда

Интеграл вычислим путем замены переменных

откуда

тогда

Обозначив величины

получим выражение для решения в первом узле сетки:

Вычислив по указанной методике, получим

Аналогично для i-го узла сетки решение определяется следующей дискретной системой:

Матрицы и вычисляют разложением в матричный ряд, тогда

Отсюда

В MATLAB реализована команда вычисления матриц дискретной системы и по матрицам А, В исходной системы:

[ad, bd]=c2d(a, b, h);

где a, b – матрицы исходной системы, h – величина шага по времени, ad и bd – матрицы дискретной системы.

Преобразование линейных моделей

Переход От СЛДУ к ЛДУ n-го порядка

Описание линейной динамической системы в виде СЛДУ -

называют описанием в форме пространства состояний, т. к.. x – вектор состояния или фазовый вектор.

Описание в форме пространства состояний связано с описанием в форме “вход—выход”, т.е. с математическим описанием, непосредственно связывающим выход и его производные со входом и его производными:

где , – квадратные матрицы строения , а – матрицы строения .

Если ввести оператор дифференцирования , уравнение преобразуется к виду

т.е. может быть записано в операторной форме

где - матричные полиномы от оператора p (коэффициенты этих полиномов — матрицы).

Если ввести – обратную матрицу, то формально можно записать

где – передаточная функция динамической системы. При этом – условная запись, под которой понимают, строго говоря, выражение

т.е. дифференциальное уравнение!!!!!! -го порядка.

Если и – скалярные выход и вход, то – скалярные полиномs, поэтому

где

и является дробно-рациональной функцией.

Найдем выражение для матричных полиномов через матрицы системы A, B, C, D.

Уравнение состояния имеет вид

Уравнение выходов имеет вид

Найдем выражение для r-й производной выхода , где r – произвольное число. Делать это будем путем последовательного дифференцирования уравнений выхода.

Для имеем:

Матрицу можно выразить через . По теореме Гамильтона-Кэли матрица А является корнем своего характеристического полинома. Если

– характеристический полином матрицы А, то при .

где I –- единичная матрица, 0 – нулевая матрица строения .

Следовательно, первое слагаемое в выражении для можно записать как

и выражение для примет вид:

Из выражения для получаем:

Подставим его в предыдущее выражение. Получим запись следующего вида:

Ее преобразуем к виду

а затем

В последнем выражении подразумевается (в характеристическом полиноме это коэффициент при . В правой части этого выражения присутствуют следующие слагаемые:

т.е. правая часть имеет вид

где

Таким образом . Учитывая, что!!!!!!! , , получаем

что эквивалентно записи

где – характеристический полином. Последняя запись эквивалентна передаточной функции (ПФ) , рассмотренной выше.

В общем случае, когда вход u и выход y являются не скалярными, а векторными, мы имеем дело с матричной ПФ от u к y. В этом случае вместо полинома получается матрица

где - полином. При этом

Связь между и определяет соотношение

где

Ее элементы - это представляющие собой ПФ от i-го входа к j-му выходу. Таким образом, знаменатель всех ПФ один и тот же и равен – характеристическому полиному матрицы А. Матричную ПФ можно получить и при помощи преобразования Лапласа для системы