![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Численное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Решение СЛОДУ определяется с помощью переходной матрицы
Пусть требуется получить решение СЛОДУ в узлах равномерной сетки с известным шагом h. Для этого рассмотрим решения в двух последовательных узлах сетки, например: Продолжая вычисления указанным способом, получим общее выражение для решения СЛОДУ на узлах равномерной сетки: Таким образом, решение СЛОДУ задается рекуррентным разностным уравнением с постоянной (для фиксированного шага сетки) матрицей системы
Для вычисления матрицы сходится абсолютно для любого h, в связи с чем величину где
Решение системы линейных неоднородных дифференциальных уравнений Как было выведено ранее, математическая модель линейной динамической системы представляет собой задачу Коши для СЛНДУ:
где вектор-функция
где Продифференцировав величину по переменной t с учетом того, что При переходе к последнему равенству воспользовались равенством
которое следует из представления Интегрируя выражение на интервале Подставив в него Окончательно решение СЛНДУ будет иметь вид: Формула для решения СЛНДУ носит название формулы Коши.
Численное решение СЛНДУ Воспользуемся формулой Коши для построения алгоритма численного решения СЛНДУ, то есть решений Вычислим!!!!!!!!!
Считая величину h малой, можно пренебречь изменением входного сигнала на интервале тогда Интеграл вычислим путем замены переменных откуда тогда Обозначив величины
получим выражение для решения в первом узле сетки:
Вычислив Аналогично для i-го узла сетки решение определяется следующей дискретной системой: Матрицы Отсюда В MATLAB реализована команда вычисления матриц дискретной системы [ad, bd]=c2d(a, b, h); где a, b – матрицы исходной системы, h – величина шага по времени, ad и bd – матрицы дискретной системы.
Преобразование линейных моделей Переход От СЛДУ к ЛДУ n-го порядка Описание линейной динамической системы в виде СЛДУ - называют описанием в форме пространства состояний, т. к.. x – вектор состояния или фазовый вектор. Описание в форме пространства состояний связано с описанием в форме “вход—выход”, т.е. с математическим описанием, непосредственно связывающим выход где Если ввести оператор дифференцирования т.е. может быть записано в операторной форме где Если ввести где
т.е. дифференциальное уравнение!!!!!! -го порядка. Если где
и является дробно-рациональной функцией. Найдем выражение для матричных полиномов Уравнение состояния имеет вид Уравнение выходов имеет вид Найдем выражение для r-й производной выхода Для Матрицу
где I –- единичная матрица, 0 – нулевая матрица строения Следовательно, первое слагаемое в выражении для можно записать как и выражение для Из выражения для Подставим его в предыдущее выражение. Получим запись следующего вида: Ее преобразуем к виду а затем В последнем выражении подразумевается т.е. правая часть имеет вид где Таким образом что эквивалентно записи
где В общем случае, когда вход u и выход y являются не скалярными, а векторными, мы имеем дело с матричной ПФ от u к y. В этом случае вместо полинома
где
Связь между где Ее элементы - это Применив преобразование Лапласа L к вектор-функциям получим или или а также Отсюда где Здесь Поэтому в области изображений Полиномы
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1120; Нарушение авторского права страницы