Вычисление определителя и обратной матрицы

Определитель матрицы А является побочным продуктом

LU-факторизации матрицы А, действительно:

Второе равенство получено на основании того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей.

Вычислим определитель каждого из сомножителей. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов,

следовательно

В MATLAB реализована функция вычисления определителя матрицы

D = det(A).

Перейдем к рассмотрению вопроса о вычислений обратной матрицы. По определению обратная матрица X удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению

Представим матрицы X и I в виде наборов их столбцов

где – вектор, который имеет все нулевые элементы за исключением i-ого, равного 1. Тогда матричное уравнение для обратной матрицы можно переписать в виде

то есть представляет собой n СЛАУ вида

Таким образом, для вычисления обратной матрицы необходимо решить n СЛАУ и составить из полученных решений матрицу. Учитывая, что все n СЛАУ имеют одинаковую матрицу А, целесообразно произвести ее LU-факторизацию и свести задачу вычисления обратной матрицы к решению 2n СЛАУ с треугольными матрицами

Обусловленность СЛАУ. Анализ ошибок решения СЛАУ

Определение: СЛАУ плохо обусловлена, если малые изменения элементов матрицы А или вектора b приводят к большим изменениям в решении.

Рассмотрим пример плохо обусловленной СЛАУ:

Решения этой системы для и для малого значения будут сильно отличаться. Это связано с тем, что на плоскости уравнения системы задают “почти” параллельные прямые 1 и 2 (рис. 2.1). Следовательно, уравнения являются “почти” линейнозависимыми, и при их малом изменении относительно друг друга точка пересечения прямых будет значительно меняться.

Рисунок 2.1

Получим количественную характеристику обусловленности СЛАУ. Рассмотрим исходную систему

Изменим вектор правой части таким образом, что , при этом изменится решение СЛАУ . Найдем зависимость от :

Учитывая, что имеем

Вычислим зависимость норм векторов и . По правилу треугольников имеем

поэтому, если мала, то большие изменения приведут к малым изменениям . Удобно иметь дело с относительными величинами

и .

Учитывая, что , умножая полученное неравенство на , получим:

Разделим обе части неравенства на :

Величина

называется числом обусловленности матрицы. Как следует из полученного неравенства, это число характеризует относительное изменение нормы решения СЛАУ в зависимости от относительного изменения нормы правой части системы.

Для вычисления числа обусловленности матрицы воспользуемся определением нормы матрицы

где – собственное число матрицы . Вычислим

Учитывая симметричность и коммутативность операций транспонирования и обращения, получим:

Поэтому

Из определения числа обусловленности

Вычисление собственных значений матрицы

Рассмотрим наиболее простой алгоритм вычисления собственных значений матрицы, основанный на вычислении корней характеристического полинома матрицы – алгоритм А. Н. Крылова. Алгоритм является следствием теоремы Гамильтона-Кэли.

Теорема: квадратная матрица А является корнем своего характеристического полинома

то есть матрица А удовлетворяет матричному уравнению

Алгоритм А.Н. Крылова основан на вычислении коэффициентов характеристического полинома матрицы, а собственные значения вычисляют как корни характеристического полинома

Для вычисления коэффициентов характеристического полинома воспользуемся матричным уравнением, следующим из теоремы Гамильтона-Кэли. Умножим обе части этого уравнения на произвольный

введем обозначения ‚ после чего исходное матричное уравнение сведется к векторному уравнению:

Из коэффициентов составим вектор

а из векторов матрицу

В результате получена СЛАУ относительно вектора неизвестных коэффициентов характеристического полинома

Решая эту СЛАУ, получим характеристический полином, корни которого есть собственные значения матрицы.

12 3 Следующая ⇒