Лекция 3. Численные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для линейной динамической системы

с заданным для каждого момента времени вектором входа . Если найден, то определить выход по второму уравнению не представляет труда, поэтому ограничимся рассмотрением только уравнения состояния

представляющего собой систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Для построения решения неоднородной системы предварительно изучим свойства решений линейной однородной системы

Для этого рассмотрим n-линейно независимых векторов

которые примем в качестве начальных условий линейной однородной системы

По этим n начальным условиям получим n решений однородной системы дифференциальных уравнений

каждое из которых удовлетворяет соотношению

Матрица , составленная из этих решений как из столбцов, называется фундаментальной матрицей линейной системы:

Любой столбец фундаментальной матрицы удовлетворяет линейной системе, поэтому

то есть фундаментальная матрица удовлетворяет матричному линейному дифференциальному уравнению

.

Основное свойство фундаментальной матрицы дает следующая теорема.

Теорема: если существует такая, что то для любой .

В связи с тем, что векторы начальных условий линейно независимы, то состоит из линейно-независимых столбцов, а следовательно, . По теореме следует, что для всех – невырожденная матрица.

Система линейных дифференциальных уравнений имеет бесконечное число фундаментальных матриц в зависимости от принятого набора линейно независимых векторов начальных условий. Так как – невырожденная матрица, то можно определить матрицу

,

называемую переходной матрицей. Переходная матрица обладает следующими свойствами:

1.

2. Переходная матрица невырожденная для любых , т.е.

3. Переходная матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

Действительно:

Из свойств 3 и 1 следует, что – фундаментальная матрица, для которой .

4. .

Действительно

Переходную матрицу используют для построения решения систем линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений.

 

Решение задачи Коши систем линейных однородных дифференциальных уравнений через фундаментальную матрицу

Рассмотрим следующую задачу Коцш:

Докажем, что решение этой задачи имеет вид

.

Доказательство. Продифференцируем по t левую и правую часть решения:

.

Второе равенство следует из свойства 3 переходной матрицы, третье равенство – из определения решения через переходную матрицу. Таким образом, предложенное решение удовлетворяет системе линейных однородных дифференциальных уравнений. Осталось показать, что предложенное решение удовлетворяет начальному условию, для чего вычислим

Следовательно, переходная матрица позволяет вычислить решение ЛОУ для любого момента времени t через решение в другой момент времени .

 

Вычисление переходной матрицы

Переходная матрица удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению

с начальным условием .

Требуется найти аналитическое решение этого матричного уравнения. Используем следующий прием: проинтегрируем обе части уравнения в пределах по переменной t:

(4.7).

Учитывая, что в левой части содержится полный дифференциал, а матрица А не зависит от , получим

или

Подынтегральное выражение можно представить по этой же формуле, то есть

Подставив (4.7) в подынтегральное выражение, получим:

продолжая итерационно этот процесс, получим выражение для переходной матрицы в виде сходящегося матричного ряда

Рассмотрим скалярную функцию . Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки .

Производные от экспоненты вычисляют по формуле

В результате получим для экспоненты

откуда

Из сравнения полученного ряда с выражением для переходной матрицы следует, что переходная матрица представляет собой ряд для матричной экспоненты

Матричная экспонента обладает всеми свойствами, присущими скалярной экспоненциальной функции, в частности

.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. D. СОЦИОИДЕОЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЩЕЙ И ПОТРЕБЛЕНИЯ
2. F. ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ
3. I. Местное самоуправление в системе институтов конституционного строя. История местного самоуправления
4. I. Методические принципы физического воспитания (сознательность, активность, наглядность, доступность, систематичность)
5. II. Проверка и устранение затираний подвижной системы РМ.
6. II.2. Локальные геосистемы – морфологические единицы ландшафта
7. III.3. Система классификационных единиц
8. IV. Падение отработочной системы.
9. IV. СООТНОШЕНИЕ СИМВОЛИЧЕСКИХ И ЕСТЕСТВЕННО-ЯЗЫКОВщХ СИСТЕМ КАК ФАКТОР, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ ХАРАКТЕР КУЛЬТУРЫ
10. MRPII–система как черный ящик
11. VI. Предотвращение негативного воздействия на работу централизованных систем водоотведения
12. VI. Система оценки результатов освоения Рабочей учебной программы