![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Корректность. Аппроксимация.Стр 1 из 6Следующая ⇒
В.Н. КРИЗСКИЙ
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Учебно-методическое пособие
Стерлитамак – 2006 УДК ББК
Кризский В.Н. Численные методы линейной алгебры: Учебно-методическое пособие / Изд-во Стерлитамакской госпедакадемии – Стерлитамак, 2006 –?? с.
В пособии излагаются численные методы решения задач линейной алгебры. Приводятся алгоритмы разложения и обращения матриц, вычисления определителя, их собственных значений и векторов, точные и итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Пособие предназначено для студентов ВУЗов, обучающихся по специальностям «Прикладная математика и информатика», «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», но также выборочно может быть использовано при изучении курса «Численные методы» студентами физико-математических специальностей вузов, поскольку опирается на знания стандартных курсов математического анализа и линейной алгебры.
Рецензенты: кафедра вычислительной математики д.ф.-м.н., проф. С.И. Спивак (кафедра математического моделирования БашГУ, г.Уфа); д.ф.-м.н., проф. И.А. Калиев (кафедра математического анализа СГПА, г. Стерлитамак);
ISBN
© В.Н. Кризский, 2006 © Стерлитамакская государственная педагогическая академия, 2006
ВВЕДЕНИЕ Учебно-методическое пособие подготовлено на основе лекционных, практических и лабораторных занятий, проводимых автором на математических специальностях физико-математического факультета Стерлитамакской государственной педагогической академии. Для успешного освоения излагаемого материала читателю необходимо знание основных понятий линейной алгебры, линейных операторов, метрических и линейных нормированных пространств. Для этого в начале приведен ряд основных определений и утверждений этих разделов математики. Автор не ставит целью знакомство читателя с весьма широким множеством существующих методов и алгоритмов линейной алгебры, эффективность которых зависит от свойств матриц. Очевидно, что чем шире класс матриц (с меньшим количеством налагаемых условий) рассматриваемых в задаче, тем универсальнее следует применять метод решения, что влечет потерю его эффективности. И обратно, сужение класса решаемых задач, учет свойств и специфичности структуры матриц приводит к построению более эффективных алгоритмов решения в классе. В пособии рассмотрены широко используемые на практике методы решения задач линейной алгебры: определения важных характеристик матриц (и связанных с ними преобразований конечномерных линейных пространств) – определителя, собственных значений и векторов (собственных линеалов), нормы, числа обусловленности; разложения матриц; решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Обсуждаются вопросы корректности задач решения СЛАУ. Применение методов иллюстрировано примерами. Приведены задания для самостоятельного изучения. Задачи и упражнения пособия, с одной стороны, призваны иллюстрировать особенности теоретических положений и способствовать более глубокому изучению материала, а с другой стороны могут быть использованы преподавателями для проведения практических занятий, коллоквиумов, зачетов и экзаменов, В конце каждого раздела дан перечень лабораторных заданий, рассчитанный на закрепление теоретического материала и ориентированный на программную реализацию обсуждаемых методов и алгоритмов, поскольку именно построение алгоритма и программы по выписанным формулам метода часто вызывает затруднение учащихся. Хотелось бы, чтобы читатель запомнил «основные идеи» методов, поскольку именно они определяют специфику применения метода и дальнейший алгоритм его действия. Получение формул метода, в случае следования этим «идеям» становится лишь демонстрацией математической техники вывода. Ведь гораздо легче запомнить десяток «идей», нежели сотни промежуточных и окончательных формул. С пожеланиями читателю прочувствовать всю красоту вычислительной математики: ощутить азарт поиска решения задачи, свою способность анализа, умение мыслить алгоритмически, профессионализм программирования и, в итоге, испытать радость триумфа победителя при получении решения в виде осязаемых чисел, векторов, матриц, функций… В.Н. Кризский ПРОГРАММА
Корректность. Аппроксимация. Операторное уравнение. Корректность задач по Адамару. Корректность задач по Тихонову. Аппроксимация, сходимость, устойчивость. Изоморфизм пространства линейных операторов в конечномерных пространствах пространству матриц. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНЫХ, МЕТРИЧЕСКИХ И НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
1) 2) 3)
1) сложение ассоциативно: 2) сложение коммутативно: 3) существует нейтральный по отношению к операции сложения (нулевой) элемент 4) 5) 6) 7) 8)
1) 2) 3)
Линейное нормированное пространство – есть частный случай метрического пространства, в котором норма определена метрикой.
1) 2) 2)
1) 2)
Пусть
КОРРЕКТНОСТЬ. АППРОКСИМАЦИЯ «… вся наука подчинена идее Б. Рассел Внимательно посмотрите на схему решения задачи на компьютере (рис.1.). Видно, что начиная с момента формализации задачи, т.е. с этапа построения математической модели и до интерпретации результатов специалистами предметной области, явно необходимо присутствие как математика-прикладника, способного после этапа моделирования построить и численно реализовать алгоритм решения задачи, так и математика-программиста, который обоснованно осуществит выбор вычислительного метода решения и программно его реализует с максимально возможной для данной компьютерной системы эффективностью. Следовательно, и тем и другим необходимо знание основных численных методов решения задач. Важно так же понимание того, что каждый этап привносит свою ошибку (устранимую и/или неустранимую) в окончательное решение задачи. Выбор численных методов, необходимых для реализации модели должен быть сделан с осознанием привносимой ими ошибки. Грубость выбора численного метода должна быть соизмерима с величинами ошибок (особенно неустранимых) других этапов. Другими словами, нет смысла выбирать «суперточный» метод, когда математическая модель весьма груба. Но с другой стороны, высокая точность примененного численного метода при плохих результатах вычислительного эксперимента поможет обратить внимание на выявление и необходимость уменьшения ошибок на других этапах. Точность метода связана с затратами ресурсов вычислительной системы. Повышение точности, как правило ведет к повышению времени работы системы и к увеличению требуемого объема памяти. Эффективность метода в свою очередь зависит от мощности множества задач, к которым может данный метод быть применен. Чем шире класс решаемых данным методом задач, следовательно, чем метод универсальнее, тем метод менее эффективен. Найдется такая задача в классе, на которой метод будет давать плохие показатели времени, величины погрешности и т.п. И обратно, сужение класса решаемых задач позволяет модифицировать метод с учетом дополнительных свойств и ограничений, повысив его эффективность. Универсальность метода при этом теряется, метод становится узкоспециальным. «Что-либо приобретая, мы что-то теряем» – эта общая философская сентенция четко работает и в курсе «Численных методов». Любая исходная задача на языке теории операторов может быть описана следующим образом
где Если оператор Например: Пусть Если же ищется неизвестный элемент
называется корректной или корректно поставленной по Адамару, на паре метрических пространств 1) для любого 2) это решение 3) решение устойчиво, т.е. для любой сходящейся к В противном случае задача называется некорректной или некорректно поставленной. Корректность задачи напрямую связана с выбором пространств Приведем классический пример академика А.Н.Тихонова некорректности по Адамару задачи решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана СЛАУ вида
Ее решение очевидно находится:
Решение новой системы Приведем еще два примера, когда решение задачи не существует (не выполняется условие 1 определения корректности по Адамару) и когда оно существует, но не является единственным (не выполняется условие 2). Первому случаю соответствует, например, СЛАУ вида
Здесь решения нет в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, поскольку ранг матрицы Второму случаю соответствует система вида
Здесь бесконечное множество решений вида Ранее считалось, что некорректные задачи не имеют физического смысла, и поэтому их не рассматривали. Однако развитие прикладных наук показывает, что многие важные задачи практики являются по Адамару некорректно поставленными. А.Н. Тихоновым было предложено новое понятие корректности, которое является физически оправданным для многих некорректных по Адамару задач. Рассматривается существенно более узкое, чем все пространство
1) известно априори, что решение задачи существует и принадлежит некоторому заданному множеству 2) решение задачи единственно на множестве 3) бесконечно малым вариациям Множество Например, задача поиска квадратной матрицы по известному определителю в общем случае, задача не корректная, поскольку ее решение даже в множестве матриц размерности 2х2 не единственно (многим матрицам могут соответствовать одинаковые определители). Но ограничение на поиск решений в множестве матриц размерности 1х1 делает эту задачу корректной. Заметим, что в условно-корректных задачах нет необходимости доказывать теорему единственности решения задачи (1), т.к. постулируется, что решение на некотором множестве Если оператор Некоторые некорректные по Адамару задачи являются корректными по Тихонову. В основе компьютерных способов решения большинства задач практики, являющихся, как правило, нелинейными и бесконечномерными, превалируют две идеи: 1) линеаризация (замена нелинейных функций, операторов, множеств линейными) и 2) переход к пространствам конечных размерностей (выбор конечного базиса, переход от интеграла или бесконечного ряда к конечным суммам, замена интервалов на дискретные конечные множества точек (сетки) и т.д.). Переход к конечномерным пространствам необходим по крайней мере, в силу конечности числа хранящих информацию ячеек памяти компьютера и требованием конечности алгоритма вычисления решения задачи. Задачи при этом сводятся к линейным операторным уравнениям вида
Связь между пространствами Предположим, что его решение – Если обозначить точное решение уравнения (1) через
Говорить о сходимости приближенных решений можно лишь тогда, когда уравнение (2) аппроксимирует уравнение (1). Для лучшего запоминания изучите рисунок 3, на котором погрешность аппроксимации Схемы 2 и 3 являются общими схемами аппроксимации исходной задачи. Они имеют место и в случае применения сеточных методов решения задач, когда вместо искомой функции Методы решения задачи Точные методы, как правило, применяются для задач небольших размерностей ( В дальнейшем, в данном пособии будем рассматривать линейное операторное уравнение Линейный оператор Следовательно, под оператором Популярное: |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 1563; Нарушение авторского права страницы