ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ. ОСНОВНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 6Следующая ⇒

В данной главе рассматриваются основные числовые характеристики матриц (операторов) и методы их вычисления. Именно знание основных числовых характеристик оператора позволяет прогнозировать воздействие этого оператора в пространстве и позволяет осознанно решать основную задачу – нахождение решения операторного уравнения вида .

Нормы векторов и матриц

В векторном пространстве можно определить следующий функционал, обладающий свойствами нормы (так называемая - норма):

, .

При различных значениях параметра получим различные нормы, практически важные из них следующие (при соответственно):

1) ;

2) ;

3) .

Нормы и в векторном пространстве называются эквивалентными, если существуют такие положительные константы и , что для любого элемента выполняется неравенство .

Все -нормы в пространстве эквивалентны. В частности выполнены неравенства:

; ; .

Из эквивалентности норм и следует сходимость последовательности в норме при условии ее сходимости в норме и наоборот.

Пример: Вычислить -нормы вектора .

Решение:

1) ;

2) ;

3) .

Так как пространство матриц изоморфно векторному пространству , то в нем также определяются -нормы, основанные на соответствующих -нормах векторов по правилу

Т.к. , то видно, что -норма матрицы (оператора) есть -норма наибольшего вектора, полученного действием оператора на нормированные (единичной длины в -норме) векторы. Построенные так нормы матриц являются операторными или подчиненными соответствующим нормам векторов. Подчиненная норма матрицы (оператора) – есть максимальное отклонение от нуля деформированной под действием данного оператора единичной сферы пространства (см.рис. ). Из определения 2.18 следует, что выполнено так называемое условие согласования .

Таким образом, подчиненная норма – есть наименьшая среди согласованных норм.

Формулы вычисления подчиненных -норм матриц (при ) приведены ниже:

1) ;

2) ;

3) .

Наряду с этими нормами рассмотрим евклидову норму матрицы

4) .

Пример: Вычислить -нормы и евклидову норму матрицы .

Решение:

1) ;

2) , .

Решим характеристическое уравнение для определения собственных значений . Раскрывая определитель в левой части, получим квадратное уравнение или . Его корни . Наибольшее собственное значение – . Следовательно, .

3) .

4) .

Введенные нормы эквивалентны, т.к. имеют место оценки:

; ; .

При практическом применении следует использовать подчиненные нормы векторов и матриц, т.е. если, к примеру, доказана сходимость метода простых итераций в матричной норме , то и проверку окончания итерационной процедуры необходимо осуществлять в подчиненной норме вектора .

норма матрицы требует вычисления собственных значений матрицы , что является достаточно сложной задачей для матриц больших размерностей (в этом мы убедимся ниже). Первая оценка, позволяет вместо подчиненной нормы использовать эквивалентную ей евклидову норму матрицы, согласованную с нормой вектора.

Число обусловленности

Решение операторного уравнения , как было показано выше на примере СЛАУ второго порядка, может оказаться задачей некорректной в силу неустойчивости получаемого решения (при условии существования обратного оператора). Решение сильно отклоняется при малых отклонениях правой части . Это означает, что обратный оператор имеет большую норму (большой коэффициент растяжения), т.е. в матрице возникают большие элементы. Говорят, что такой оператор является плохо обусловленным.

Пусть – точное решение уравнения , а – его приближенное решение. Обозначим через – погрешность приближенного решения, а через – невязку.

Т.к. , т.е. погрешность и невязка связаны уравнением , откуда . Т.е. погрешность определяется невязкой. В общем случае ошибочно считать, что малость невязки приводит к малости погрешности в решении. Это не верно в классе плохо обусловленных операторов.

Необходимо определение количественных характеристик оператора, позволяющих судить о взаимосвязи нормы погрешности и нормы невязки . На практике интерес представляют не абсолютные величины и , а их относительные изменения и . Важна оценка вида . Отыщем коэффициент , зависящий от оператора . Т.к. , то . Т.к. , то . Перемножим эти неравенства. Получим . Деление на дает .

Коэффициент называют числом обусловленности линейного обратимого оператора (матрицы).

Если число велико, то оператор считается плохо обусловленным. Понятие «велико» или «не велико» конечно зависит от конкретной решаемой задачи, от точности, с которой требуется найти решение. Т.к. , то число обусловленности – величина не меньшая единицы.

Видно, что число обусловленности зависит от выбора нормы оператора. Оценим его через собственные числа оператора.

Поскольку и , то и . Тогда

Число, вычисляемое как отношение наибольшего по модулю собственного значения оператора к наименьшему по модулю собственному значению, называется числом Тодда. Обозначим его через . Имеем следующую нижнюю оценку числа обусловленности: .

Число Тодда есть отношение наибольшей полуоси к наименьшей полуоси эллипсоида рассеяния оператора , отношение наибольшего коэффициента растяжения одного собственного подпространства к наименьшему коэффициенту растяжения другого собственного подпространства оператора (см.рис. ).

В литературе встречаются и иные определения чисел обусловленности [????? ], имеющие вероятностный смысл отношений среднеквадратичных отклонений.

Поскольку большинство методов решения уравнения основано на последовательном преобразовании путем умножений слева на элементарные матрицы к некоторому простому виду – диагональному, треугольному и т.д., то следует исследовать как влияют данные умножения на обусловленность.

Справедливы следующие утверждения.

Если матрица не вырождена и , то умножение матрицы на слева не меняет числа обусловленности матрицы .

тогда и только тогда, когда , что .

Число обусловленности инвариантно относительно умножения матрицы на константу, т.е. .

Замечание: Оператор может быть плохо обусловлен, даже если он и не имеет малых собственных значений. С другой стороны, наличие очень малого по модулю собственного значения влечет плохую обусловленность оператора.

Замечание: Не верно утверждение, что плохо-обусловленный оператор – есть почти вырожденный оператор (т.е. ). Условие является необходимым, но не достаточным признаком плохой обусловленности. К примеру, рассмотрим матрицу , где – положительное малое число, а единичная матрица – достаточно высокого порядка. , но определитель при больших стремиться к нулю, т.к. .

Геометрически, плохую обусловленность СЛАУ можно трактовать следующим образом: линейные подпространства, задаваемые уравнениями системы либо сами «почти» параллельны, либо их пересечения образуют «почти» параллельные подпространства меньшей размерности.

Рассмотрим систему . Она не вырождена – . Ее число обусловленности – велико. Каждое уравнение системы – задает уравнение прямой в плоскости . Видно, что прямые «почти» параллельны. Угловые коэффициенты их близки ( и ), но не равны, и, следовательно, прямые пересекаются. Изменение правой части первого уравнения на 0.1 влечет изменение точки пересечения первой прямой с осью на 0.01 и параллельный перенос первой прямой . Точка пересечения этих прямых – новое решение системы – при почти параллельных прямых далеко «убегает» от старого решения (см.рис.).

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 Следующая ⇒