![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Спектральные задачи линейной алгебры
Ранее мы установили связь между числом обусловленности матрицы и ее собственными значениями, одна из рассмотренных норм матрицы также требовала вычисления собственных значений. Определение спектральных характеристик оператора – часто встречаемая и весьма важная задача прикладной математики. В нашем случае, когда оператор действует в конечномерном векторном пространстве и является линейным, вопрос определения его собственных значений может быть сформулирован в терминах собственных значений матрицы, представляющей оператор. Различают полную и неполную проблему собственных значений – нахождение всех собственных значений и соответствующих векторов и нахождение одного или нескольких (не всех) собственных значений и соответствующих собственных векторов. Неполная проблема возникает, например, при оценке сходимости итерационных методов решения СЛАУ, когда достаточно определить максимальное по модулю собственное значение. Различают прямые и итерационные методы. Прямые методы основаны на применении преобразований подобия. Матрица приводится к такому виду, для которого просто выписать коэффициенты характеристического уравнения, затем ищутся его корни какими-либо известными методами. Основным достоинством прямых методов является их возможность применения к широкому классу матриц. Их недостатком является чувствительность корней многочлена к вариации коэффициентов (к погрешностям, с которыми считаются коэффициенты многочлена). Прямые методы, являясь экономичными по числу необходимых вычислительных операций, устойчивы только для матриц невысокого порядка ( В итерационных методах вычисление собственных значений определяется без вычисления характеристического многочлена лишь по исходной матрице. Как правило, вычисления сопровождаются и определением собственного вектора. Собственные значения и собственные векторы в итерационных методах вычисляются как пределы итерационных последовательностей. Итерационные методы более трудоемки, чем прямые, но обладают простотой реализации, единообразием действий и большей устойчивостью, что выдвигает их в лидеры при компьютерном решении задач большой размерности.
Собственный вектор совместно с нулевым вектором образуют инвариантное подпространство пространства На основе определения могут быть доказаны следующие свойства: 1) Собственные вектора определяются с точностью до множителя: если 2) Если 3) Если 4) Спектр диагональных и треугольных матриц состоит из диагональных элементов этих матриц. 5) Определитель матрицы равен произведению ее собственных значений. 6) Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. Кратному собственному значению соответствует от 1 до k линейно независимых собственных векторов. Если матрица имеет полный набор различных собственных значений, то собственные векторы образуют в пространстве базис, в котором матрица оператора имеет диагональный вид. Из определения следует, что для определения собственного вектора необходимо найти нетривиальные решения однородного уравнения
Уравнение (4.5.1) называется характеристическим уравнением. Оно определяет собственные значения оператора. Если раскрыть определитель в левой части уравнения, то получим относительно
Непосредственно можно убедиться, что коэффициент при Собственные числа являются корнями этого многочлена. Теорема Вейерштрасса гласит, что многочлен Характеристический многочлен трехдиагональных матриц может быть выписан по рекуррентным формулам вида (4.4.3): введя обозначение
формула (4.4.3) приобретет вид:
и будет применима для Пример: Решение.
При малых значениях Отметим, что характеристический многочлен вида (4.5.2) может быть явно выписан для матрицы вида Напомним, что преобразование подобия вида Преобразования подобия с унитарными матрицами Возникают следующие основные «идеи» прямых методов решения спектральных задач линейной алгебры – с помощью преобразований подобия, т.е. сохраняя собственные значения матрицы, преобразовать матрицу к виду, характеристический многочлен которой легко выписывается (например к форме Фробениуса, к трехдиагональному виду с последующим применением формулы (4.5.2), к диагональному или треугольному виду). Прямые методы решают полную проблему собственных значений. Итерационные методы могут решать как полную, так и частичную проблемы. Рассмотрим некоторые, практически часто используемые.
Метод А.М. Данилевского В конце тридцатых годов прошлого века А.М. Данилевским был предложен метод сведения исходной матрицы
Данилевский предложил преобразовывать матрицу Приведем последнюю строку матрицы Сделаем преобразование подобия Второй шаг заключается в приведении предпоследней строки матрицы Здесь В нерегулярном случае: пусть сделано Здесь возможны два случая: 1) Левее элемента Переставим 2) Все элементы В этом случае имеем блочно-треугольное представление Метод позволяет найти собственные векторы матрицы
где Действительно, Считая, что собственные значения Система линейных алгебраических уравнений Из системы видно, что у собственного вектора формы Фробениуса все компоненты не нулевые (в противном случае вектор Пусть Пример: Методом Данилевского выписать характеристический многочлен матрицы Решение: Первый шаг преобразования:
Второй шаг преобразования:
Коэффициента первой строки – есть коэффициенты искомого многочлена: Собственные значения – корни уравнения Найдем собственные векторы формы Фробениуса Для Для Для Т.к.
Проверкой можно убедиться, что действительно выполняются равенства определения 4.5.1: Вектор Метод Леверье
Характеристический многочлен матрицы Введем обозначения
Очевидно, что. Поскольку Отметим, что объем вычислений в методе Леверье, по сравнению с методом Данилевского, возрастает, но метод менее чувствителен к частным особенностям матриц. Некоторое сокращение объема вычислений можно получить, на последнем шаге, поскольку нужно вычислить лишь диагональные элементы, дающие след матрицы. Пример: Методом Леверье выписать характеристический многочлен матрицы Решение: При При
При
Следовательно, Существует модификация Д. Фаддеева метода Леверье, позволяющая не только построить характеристический многочлен матрицы
Матрица
Пример: Модифицированным методом Леверье выписать характеристический многочлен матрицы Решение: При При Следовательно, искомый характеристический многочлен имеет вид:
Проверьте, что матрица
Метод вращений Якоби
Метод К.Якоби решает полную проблему собственных значений симметричной матрицы
где
приводит к нахождению собственных значений, которые будут элементами диагонали матрицы Будем строить ее с помощью преобразований вращения, обнуляя на каждом шаге максимальный недиагональный элемент (и симметричный ему): К сожалению, нельзя гарантировать, обнуление всех недиагональных элементов за конечное число шагов, поскольку очередное преобразование вращения может сделать уже обнуленный элемент ненулевым. Для контроля приближения к диагональной матрице введем количественную характеристику – Опишем процедуру преобразования и покажем, что Напомним, что преобразование вращения определяется матрицей Основной переход 1) выбор пары индексов 2) вычисление пары косинус-синус 3) включение подматрицы Преобразование вращения сохраняет евклидову норму матрицы, т.е. Следовательно, оно уменьшает характеристику Шаг 1: Будем обнулять максимальный по модулю недиагональный элемент, т.е. будем выбирать пару индексов Шаг 2: Вычислим косинус и синус угла поворота – пару Шаг 3 труда не представляет.
Т.к.
Применив преобразование вращения Более точные оценки, при больших номерах Замечание_1: Значения Замечание_2: Столбцы матрицы Пример: Методом вращений найти собственные значения и собственные векторы симметричной матрицы Решение: Зададимся точностью расчетов Т.к. При Ш1: Максимальный по модулю недиагональный элемент – число 6 – находится во второй строке и третьем столбце. Следовательно, Ш2:
Ш3: Подматрица
Т.к. Ш1: Максимальный по модулю недиагональный элемент – число 1, 902. Следовательно, Ш2:
Ш3: Подматрица
Т.к. Ш1: Индексы максимального по модулю недиагонального элемента Ш2:
Ш3:
Условие окончания Составим из элементов главной диагонали матрицы Матрица с приближенными компонентами собственных векторов Степенной метод
Степенной метод является итерационным методом. Он решает неполную проблему собственных значений. С его помощью приближенно определяются наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы. Идея метода: Вспомним, что такое собственные векторы и собственные значения линейного оператора Если ввести в пространстве базис из собственных векторов и многократно воздействовать оператором Пусть квадратная матрица оператора Возьмем ненулевой вектор
Собственные векторы Тогда … Последнее равенство в покомпонентном виде: Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 3823; Нарушение авторского права страницы