![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Векторы и матрицы. Основные числовые характеристики.
Норма. Число обусловленности. Аддитивные и мультипликативные разложения матриц. Нахождение определителя с использованием мультипликативных разложений матриц. Проблема собственных значений. Полная и неполная проблема. Прямые и итерационные методы. Метод Данилевского. Метод Леверье. Метод вращений Якоби. Степенной метод. Методы на основе мультипликативных разложений матриц. Решение систем линейных алгебраических уравнений. Точные методы. Метод Гаусса. Метод Итерационные методы. Метод простых итераций. Критерий сходимости, достаточные условия сходимости. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов. Метод Якоби. Метод Зейделя. Метод последовательной релаксации. Обратная матрица. Уточнение элементов обратной матрицы. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ВЕКТОРНЫХ, МЕТРИЧЕСКИХ И НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
1) 2) 3)
1) сложение ассоциативно: 2) сложение коммутативно: 3) существует нейтральный по отношению к операции сложения (нулевой) элемент 4) 5) 6) 7) 8)
1) 2) 3)
Линейное нормированное пространство – есть частный случай метрического пространства, в котором норма определена метрикой.
1) 2) 2)
![]()
1) 2)
Пусть
КОРРЕКТНОСТЬ. АППРОКСИМАЦИЯ «… вся наука подчинена идее Б. Рассел Внимательно посмотрите на схему решения задачи на компьютере (рис.1.). Видно, что начиная с момента формализации задачи, т.е. с этапа построения математической модели и до интерпретации результатов специалистами предметной области, явно необходимо присутствие как математика-прикладника, способного после этапа моделирования построить и численно реализовать алгоритм решения задачи, так и математика-программиста, который обоснованно осуществит выбор вычислительного метода решения и программно его реализует с максимально возможной для данной компьютерной системы эффективностью. Следовательно, и тем и другим необходимо знание основных численных методов решения задач. Важно так же понимание того, что каждый этап привносит свою ошибку (устранимую и/или неустранимую) в окончательное решение задачи. Выбор численных методов, необходимых для реализации модели должен быть сделан с осознанием привносимой ими ошибки. Грубость выбора численного метода должна быть соизмерима с величинами ошибок (особенно неустранимых) других этапов. Другими словами, нет смысла выбирать «суперточный» метод, когда математическая модель весьма груба. Но с другой стороны, высокая точность примененного численного метода при плохих результатах вычислительного эксперимента поможет обратить внимание на выявление и необходимость уменьшения ошибок на других этапах. Точность метода связана с затратами ресурсов вычислительной системы. Повышение точности, как правило ведет к повышению времени работы системы и к увеличению требуемого объема памяти. Эффективность метода в свою очередь зависит от мощности множества задач, к которым может данный метод быть применен. Чем шире класс решаемых данным методом задач, следовательно, чем метод универсальнее, тем метод менее эффективен. Найдется такая задача в классе, на которой метод будет давать плохие показатели времени, величины погрешности и т.п. И обратно, сужение класса решаемых задач позволяет модифицировать метод с учетом дополнительных свойств и ограничений, повысив его эффективность. Универсальность метода при этом теряется, метод становится узкоспециальным. «Что-либо приобретая, мы что-то теряем» – эта общая философская сентенция четко работает и в курсе «Численных методов». Любая исходная задача на языке теории операторов может быть описана следующим образом
где Если оператор Например: Пусть Если же ищется неизвестный элемент
называется корректной или корректно поставленной по Адамару, на паре метрических пространств 1) для любого 2) это решение 3) решение устойчиво, т.е. для любой сходящейся к В противном случае задача называется некорректной или некорректно поставленной. Корректность задачи напрямую связана с выбором пространств Приведем классический пример академика А.Н.Тихонова некорректности по Адамару задачи решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана СЛАУ вида
Ее решение очевидно находится:
Решение новой системы Приведем еще два примера, когда решение задачи не существует (не выполняется условие 1 определения корректности по Адамару) и когда оно существует, но не является единственным (не выполняется условие 2). Первому случаю соответствует, например, СЛАУ вида
Здесь решения нет в соответствии с теоремой Кронекера-Капелли, поскольку ранг матрицы Второму случаю соответствует система вида
Здесь бесконечное множество решений вида Ранее считалось, что некорректные задачи не имеют физического смысла, и поэтому их не рассматривали. Однако развитие прикладных наук показывает, что многие важные задачи практики являются по Адамару некорректно поставленными. А.Н. Тихоновым было предложено новое понятие корректности, которое является физически оправданным для многих некорректных по Адамару задач. Рассматривается существенно более узкое, чем все пространство
1) известно априори, что решение задачи существует и принадлежит некоторому заданному множеству 2) решение задачи единственно на множестве 3) бесконечно малым вариациям Множество Например, задача поиска квадратной матрицы по известному определителю в общем случае, задача не корректная, поскольку ее решение даже в множестве матриц размерности 2х2 не единственно (многим матрицам могут соответствовать одинаковые определители). Но ограничение на поиск решений в множестве матриц размерности 1х1 делает эту задачу корректной. Заметим, что в условно-корректных задачах нет необходимости доказывать теорему единственности решения задачи (1), т.к. постулируется, что решение на некотором множестве Если оператор Некоторые некорректные по Адамару задачи являются корректными по Тихонову. В основе компьютерных способов решения большинства задач практики, являющихся, как правило, нелинейными и бесконечномерными, превалируют две идеи: 1) линеаризация (замена нелинейных функций, операторов, множеств линейными) и 2) переход к пространствам конечных размерностей(выбор конечного базиса, переход от интеграла или бесконечного ряда к конечным суммам, замена интервалов на дискретные конечные множества точек (сетки) и т.д.). Переход к конечномерным пространствам необходим по крайней мере, в силу конечности числа хранящих информацию ячеек памяти компьютера и требованием конечности алгоритма вычисления решения задачи. Задачи при этом сводятся к линейным операторным уравнениям вида
Связь между пространствами Предположим, что его решение – Если обозначить точное решение уравнения (1) через
Говорить о сходимости приближенных решений можно лишь тогда, когда уравнение (2) аппроксимирует уравнение (1). Для лучшего запоминания изучите рисунок 3, на котором погрешность аппроксимации Схемы 2 и 3 являются общими схемами аппроксимации исходной задачи. Они имеют место и в случае применения сеточных методов решения задач, когда вместо искомой функции Методы решения задачи Точные методы, как правило, применяются для задач небольших размерностей ( В дальнейшем, в данном пособии будем рассматривать линейное операторное уравнение Линейный оператор Следовательно, под оператором При изменении базиса пространства по закону
Рекомендуемые страницы:
Читайте также:
![]() |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-15; Просмотров: 1362; Нарушение авторского права страницы