Колебательное затухающее звено, апериодическое звено 2-го порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 12 из 14Следующая ⇒

Это такое звено, у которого при скачкообразном изменении х, выходная величинана – у изменится в колебательном режиме с постоянным периодом и с амплитудой затухающего колебания по экспоненте. Динамическая характеристика имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Это уравнение 2-го порядка, звено имеет 2 емкости – Т0 и Т. Для решения уравнения необходимо получить передаточную функцию и характерное уравнение для данного звена. Передаточная функция:

Т0²*р0²*у(р)+Т*р*у(р)+у(р)=к*х(р)

W(р)=у(р)/х(р)=к/(Т0²*р²+Т*р+1). Характерное уравнение (когда знаменатель=0): Т0²*р²+Т*р+1=0.

Найдем корни: Р1, 2=-Т/(2*Т0²)± (Т²-4Т0²/4*Т0⁴). Данные корни могут быть комплексно-сопряженные или действительно отрицательные. Если Т< 2Т0, то корень дифференциала уравнения будет отрицательным и корни комплексно-сопряженные, т е: Р1, 2=-α ±j*ω. Коэффициент затухания α =Т/2Т0², ω = 4Т0²/Т0/4Т0⁴) – частота вынужденных колебаний выходной величины у. Решение будет иметь вид: у=у установится – с*е^-α^t*sin(ω *t+ψ ), где с, ω – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий, т е: (dy/dt)_t=0. Параметры: у установится = к*х, с=к*х*(ω 0/ω ), ω 0=1/Т0 – частота свободных колебаний выходной переменной, ψ =arctg(ω /α ). Подставив все получим:

y=кх*[1 - ω 0/ω *е^-α^t*sin(ω *t+arctg ω /α )]. График переходного процессса (х=const):

Пример: двухъемкостные статические объекты, электродвигатели переменного тока (асинхронные).

Апериодическое звено 2-го порядка: Динамическая характеристика данного звена имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Характеристическое уравнение данного звена: Т0²*р²+Т*р+1=0. Соотношение постоянных времени имеет следующий вид: Т1> 2Т0. Корни характеристического уравнения будут вещественными и отрицательными: Р1, 2=-α ±γ, α =-Т1/2Т0, γ = ((Т1²-4Т0²)/4Т0⁴). И решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: у=к*х – с1*е^{-(α +γ )} – с2*е^{-( α -γ )}, где с1, с2 – постоянная интегрирования. График переходного процесса им s-вид:

Звено чистого запаздывания

Динамическая его характеристика имеет вид: у=х*(t – τ ), где τ – время чистого запаздывания. График переходного процесса:

Характеристика – величина у на выходе звена = вх величине х, но через время τ. Передаточная функция имеет вид: W(р)=у(р)/х(р)=е^-р*τ

Передаточные функции АСР

Отношение преобразованной по Лапласу выходной величины АСР (или элемента) к преобразованной по Лапласу входной величины АСР называется передаточной функцией АСР (элемента).

У(Р)/ Х(Р) =(b_0*P^m+ b_1*P^m-1+…+ b_m-1*P+b_m)/(a₀*Pⁿ+ a₁*P^n-1+…+ a_n-1*P+a_n) =W(P)