Апериодическое (инерционное, статическое) звено

Типовое дифференциальное уравнение взаимосвязи выходного и входного сигналов апериодического ТДЗ имеет вид

где Т₀ — постоянная времени; к — коэффициент передачи.

Дифференциальное уравнение является неудобной формой математической модели звена или объекта, так как решение большинства дифференциальных уравнений — это сложная вычислительная процедура. Более удобна математическая модель объекта, записанная в виде передаточной функции.

Передаточной функцией называется преобразованное по Лапласу исходное дифференциальное уравнение, т.е. уравнение, записанное в виде отношения преобразованных по Лапласу выходного и входного сигналов звена (объекта).

В преобразовании по Лапласу исходное дифференциальное уравнение называется оригиналом, а преобразованное и записанное в операторной форме уравнение — его изображением. Суть преобразования Лапласа заключается в замене функций вещественных переменных — х_вых(τ ) и х_вх(τ ) на функции комплексных переменных — х_вых(р) и х_вх(р), где р — оператор Лапласа (комплексное число р = ± т ± in). Эти функции связаны между собой интегралом Лапласа:

Для большинства дифференциальных уравнений, используемых в ТДЗ, чисто формальным условием перехода от оригинала к изображению будут следующие замены:

Таким образом легко можно получить из оригинала изображение, т.е. операторную форму записи дифференциального уравнения апериодического ТДЗ.

Дифференциальное уравнение апериодического звена — оригинал имеет вид

а операторная форма записи — изображение этого уравнения

Огромное преимущество такого преобразования заключается в том, что записанное в операторной форме исходное дифференциальное уравнение становится алгебраическим.

Если бы все дифференциальные уравнения можно было преобразовать по Лапласу, это была бы революция в развитии математики, так как решать алгебраические уравнения значительно проще. К сожалению, это возможно только для небольшого их числа, например для дифференциальных уравнений ТДЗ.

Поскольку уравнение изображения апериодического звена алгебраическое, его можно преобразовать следующим образом:

Из этого выражения легко получить отношение х_вых(р)/х_вх(р), которое называется передаточной функцией и для апериодического звена имеет вид

Каждое типовое динамическое звено имеет ряд типовых частотных характеристик: амплитудно-частотную (АЧХ); фазочастотную (ФЧХ); амплитудно-фазовую частотную АФЧХ (или АФХ); логарифмическую амплитудно-частотную (ЛАЧХ); логарифмическую фазочастотную (ЛФЧХ).

На практике чаще используют амплитудно-фазовую частотную характеристику (или АФХ).

АФХ является вектором, а график АФХ — годографом этого вектора, т. е. кривой на комплексной плоскости, которую описывает конец вектора при изменении частоты ω от 0 до ∞. Изображение вектора на комплексной плоскости показано на рис. 9.4. Вектор характеризуют две величины: направление (градиент) и длина (скаляр, или вектор по модулю).

Вектор аналитически можно записать в виде двух проекций на действительную и мнимую оси, и выразить эти проекции через угол α:

где | W | — вектор по модулю, или длина вектора; е = 2, 71 — основание натуральных логарифмов; i — мнимое число, i= i²=-1 i³=-1 i⁴= +1.

Аналитическое выражение вектора АФХ любого ТДЗ легко получить через передаточную функцию, заменив в ней оператор Лапласа p на выражение iω , где ω — частота колебаний, ω = 2π /Т; Т — период колебаний.

Для апериодического звена АФХ имеет вид

Чтобы записать вектор АФХ в виде суммы проекций на действительную и мнимую оси, необходимо провести следующие преобразования:

Изменяя частоту со от 0 до ∞, можно построить на комплексной плоскости график вектора АФХ — его годограф (рис. 9.5), представляющий собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен коэффициенту к.

На рис. 9.6 приведена типовая кривая разгона апериодического звена, которая называется экспонентой. Любая экспонента обладает одним замечательным свойством: если к любой ее точке провести касательную, а затем точку касания и точку пересечения касательной с асимптотой, к которой с течением времени приближается экспонента, спроецировать на ось времени, то получится один и тот же отрезок на оси времени. Эта проекция, называемая постоянной времени, соответствует коэффициенту Т₀ в передаточной функции и АФХ апериодического звена, а ордината

асимптоты, к которой стремится экспонента, — коэффициенту к в его передаточной функции. Таким образом по кривой разгона легко найти коэффициенты к и Т₀ в передаточной функции апериодического звена.

Примером реализации апериодического звена является электродвигатель небольшой мощности, который после включения в электросеть (подачи единичного скачка) набирает обороты по экспоненте.

Также примером реализации апериодического звена может быть установка, изображенная на рис. 9.7.

В бак поступает поток воды с расходом Q₁; из бака вытекает свободно поток воды с расходом Q_2. Регулируемый параметр х_вых — это уровень Н воды в баке.

При подаче единичного скачка Q₁ уровень Н в баке повышается; при этом увеличивается гидростатическое давление и возрастает Q₂. Затем уровень воды Н стабилизируется (т.е. экспонента приближается к асимптоте).

Эта способность самостоятельно восстанавливать равновесие, присущая объектам, аппроксимируемым апериодическим ТДЗ, за счет притока или стока энергии или вещества называется самовыравниванием. Количественно самовыравнивание определяется коэффициентом р, равным обратному значению коэффициента к в передаточной функции звена, т.е. р = 1/k.

В литературе объекты с передаточной функцией апериодического звена называют статическими.

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 171819 20 21 22 Следующая ⇒