Астатическое (интегрирующее) звено

Типовое дифференциальное уравнение этого звена имеет вид

Это уравнение можно решить в общем виде, взяв интегралы левой и правой его частей:

Посредством преобразования Лапласа получаем передаточную функцию астатического звена.

Операторная форма записи дифференциального уравнения

Передаточная функция имеет вид

Из передаточной функции легко получить аналитическое выражение вектора АФХ астатического звена путем замены оператора Лапласа р на выражение /со:

Разделив после преобразования вектор АФХ на действительную т и мнимую т части, легко построить его годограф, изменяя частоту ω от 0 до ∞ (рис. 9.8).

Конец вектора АФХ перемещается по отрицательной мнимой полуоси комплексной плоскости, которая и будет графиком АФХ для астатического звена.

На рис. 9.9 изображена типовая кривая разгона астатического звена. По этому графику видно, что объект, аппроксимируемый астатическим ТДЗ, не обладает свойством самовыравнивания.

По кривой разгона легко определить коэффициент T в передаточной функции астатического звена:

В литературе передаточную функцию астатического звена иногда записывают в виде

а после преобразования

Примером реализации астатического ТДЗ является любой бункер-накопитель в технологической цепи машиностроительного производства.

Также примером реализации астатического ТДЗ может быть цилиндрический бак, из которого вода откачивается насосом постоянной производительности (рис. 9.10).

Равновесие в этой системе наступает только при равенстве входного потока Q₁ производительности насоса Q₂. В остальных случаях будет непрерывное наполнение или опорожнение бака в соответствии с кривой разгона типового астатического звена.

Объекты, которые аппроксимируются астатическим (интегрирующим) звеном, называют астатическими. Такие объекты не обладают свойством самовыравнивания.

9.4. Колебательное (апериодическое 2-го порядка) звено

Типовое дифференциальное уравнение этого звена имеет вид

Формально заменив d²/dτ ² на p², а d/dτ на р, получим операторную форму записи этого дифференциального уравнения, преобразованного по Лапласу в алгебраическое:

Поскольку это уравнение алгебраическое, можно х_вых(р) вынести за скобки:

Преобразуя последнее уравнение в отношение выходного сигнала к входному, получим передаточную функцию колебательного звена:

Из передаточной функции можно получить аналитическое выражение вектора АФХ колебательного звена, заменив оператор Лапласа р на выражение iω :

Чтобы выделить действительную и мнимую части в выражении вектора АФХ, проведем следующие алгебраические преобразования:

Изменяя частоту от 0 до ∞ в действительной m(ω ) и мнимой in(ω ) частях вектора АФХ данного звена, легко построить его годограф (рис. 9.11).

Типовые кривые разгона колебательного и апериодического 2-го порядка звеньев приведены на рис. 9.12. Различие приведенных кривых определяет соотношение коэффициентов Т₁ и Т₂ в исходном типовом дифференциальном уравнении: если Т₂² < 4T₁, то система ведет себя как колебательное звено, если же Т₂² ≥ 4T₁— как апериодическое звено 2-го порядка.

Из рис. 9.12 очевидно, что объекты, аппроксимируемые колебательным или апериодическим 2-го порядка звеном обладают свойством самовыравнивания, т.е. способностью самостоятельно восстанавливать состояние равновесия после возмущающего воздействия.

Примером реализации колебательного звена может служить механическая система (колесная пара вагона), изображенная на рис. 9.13, я, а апериодического звена 2-го порядка — система из двух проточных прудов (рис. 9.13, б), в которой регулируемым параметром х_вых является уровень Н₂ воды во втором пруду.

По кривым разгона колебательного и апериодического звеньев легко найти значение коэффициента k в их передаточной функции. Определить же коэффициенты Т₁ и Т₂ значительно сложнее.

Пропорциональное (усилительное, безынерционное)

Звено

Типовое уравнение взаимосвязи выходного и входного сигналов пропорционального звена является алгебраическим, т.е. оно может служить операторной формой записи уравнения звена:

Передаточная функция пропорционального звена имеет вид

Аналитическое выражение вектора АФХ этого звена

Поскольку АФХ пропорционального звена не зависит от изменения частоты со, годограф ее вектора (рис. 9.14) превращается в точку С, находящуюся на действительной положительной полуоси комплексной плоскости на расстоянии к от начала координат.

Пропорциональное звено мгновенно (без инерции) реагирует на возмущающее воздействие. По типовой кривой разгона, показанной на рис. 9.15, видно, что выходной сигнал этого звена пропорционален входному сигналу, и ордината выходного сигнала равна коэффициенту пропорциональности к.

Примером реализации пропорционального звена может служить жесткий стержень, лежащий на опоре (рис. 9.16), при перемещении одного конца которого (х_вх) мгновенно перемещается другой его конец (х_вых).

Дифференцирующее звено

Различают идеальное дифференцирующее и реальное дифференцирующее ТДЗ.

Сначала рассмотрим идеальное дифференцирующее звено, типовое дифференциальное уравнение которого имеет вид

Операторная форма записи этого дифференциального уравнения

Передаточная функция идеального дифференцирующего звена

Аналитическое выражение вектора АФХ такого звена

Изменяя частоту со от 0 до ∞ в последнем выражении, легко построить график вектора АФХ идеального дифференцирующего звена (рис. 9.17). Конец вектора АФХ идеального дифференцирующего звена перемещается из начала координат по положительной мнимой полуоси комплексной плоскости, уходя при ω = ∞ в бесконечность.

Типовая кривая разгона идеального дифференцирующего звена своеобразна (рис. 9.18). Выходной сигнал этого звена пропорционален первой производной входного сигнала, т. е. тангенсу угла наклона вектора АФХ. В момент подачи входного воздействия этот угол равен +90°, а tg(+90°) = +∞, но далее входное воздействие устанавливается равным единице, при этом угол наклона становится равным -90°, а tg(-90°) = -∞.

Следовательно, выходной сигнал идеального дифференцирующего звена в момент подачи входного воздействия принимает

значение +∞. Тут же из +∞ вычитается -∞ и выходной сигнал возвращается в исходное нулевое состояние (см. рис. 9.18).

Примером реализации идеального дифференцирующего звена может быть электрическая цепь, состоящая из конденсатора с емкостью С и резистора R, обладающего сверхпроводимостью (R = 0). Схема такой RС-цепи изображена на рис. 9.19.

Теперь рассмотрим реальное дифференциальное звено. Его типовое дифференциальное уравнение имеет вид

Операторная форма записи этого уравнения:

В этом алгебраическом уравнении х_вых(р) можно вынести за скобки:

а затем получить аналитическое выражение передаточной функции реального дифференцирующего звена:

Заменив р на iω в передаточной функции, получим аналитическое выражение вектора АФХ данного звена:

После проведенных алгебраических преобразований, изменяя частоту ω от 0 до ∞ в действительной m(ω ) и мнимой in(ω ) частях вектора АФХ, легко построить годограф реального дифференцирующего звена (рис. 9.20).

При ω = ∞ единицу в знаменателе m(ω ) можно отбросить. Тогда, сократив дробь получим m(ω ) = k/T₀.

Cледовательно, графиком вектора АФХ этого звена является полуокружность в первом квадранте комплексной плоскости, диаметр которой равен k/Т₀.

Типовая кривая разгона реального дифференцирующего звена, изображенная на рис. 9.21, показывает, что после подачи на его вход возмущения в виде единичного скачка выходной сигнал мгновенно увеличивается на величину k/Т₀, а затем по экспоненте постепенно приближается к нулю. Таким образом по кривой разгона легко определить коэффициенты Т₀ и к передаточной функции звена, т. е. сначала с помощью касательной (см. описание апериодического ТДЗ) находят значение Т₀, а затем, умножив ординату величины к/Т₀ на Г₀, получают значение k.

Примером реализации реального дифференцирующего звена будет RС-цепь, показанная на рис. 9.19, в которой сопротивление R ≠ 0, что реально имеет место.

Запаздывающее звено

Рассмотрение этого звена начнем с его реализации, примером которой может служить ленточный транспортер длиной L, перемещающийся со скоростью V (рис. 9.22). Если расход сыпучего материала в начале такого транспортера принять Q₁= х_вх, а расход ссыпающегося в конце с транспортера материала Q₂ = х_вых, то время движения материала Δ τ будет равно L/V = τ _зап (где τ _зап — время запаздывания).

Если на вход ленточного транспортера подать возмущение в виде единичного скачка (т.е. открыть подачу материала), то этот же единичный скачок появится на его выходе через отрезок времени, равный времени запаздывания. Следовательно, типовая кривая разгона будет иметь вид, показанный на рис. 9.23.

Теперь представим, что на вход транспортера подан единичный импульс. Через определенное время запаздывания мы его же получим на выходе транспортера. То же будет и при входном потоке, изменяющемся по синусоиде или какому-либо другому закону во времени. Следовательно, выходной сигнал запаздывающего звена повторяет входной сигнал, но с некоторым временем запаздывания. Исходя из этого, общее уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена в динамическом режиме работы можно записать в виде

или

В литературе, как правило, уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена имеет вид

Однако трудно себе представить отрицательное время запаздывания. Время — особый фактор реальности, и движется оно от

нуля только вперед. Также в природе не бывает отрицательных давления и концентрации газа. Так формальная математика вступает в противоречие с законами реального мира.

Итак, типовое уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов запаздывающего звена имеет вид

Для получения из этого уравнения передаточной функции запаздывающего звена в общем виде необходимо использовать интегралы Лапласа (см. характеристики апериодического звена):

Из аналитического выражения передаточной функции запаздывающего звена путем замены р на /со получим аналитическое выражение для вектора АФХ этого звена:

Чтобы разделить это выражение на действительную и мнимую части, воспользуемся формулой Эйлера:

Изменяя частоту ω от 0 до ∞ в действительной и мнимой частях этого выражения, можно построить годограф вектора АФХ запаздывающего звена (рис. 9.24), который будет представлять собой бесконечное число окружностей с единичным радиусом вокруг начала координат комплексной плоскости. Первая окружность замыкается, когда ω τ _зап = 2π или при частоте ω = 2π /τ _зап.

⇐ Предыдущая 14 15 16 17 181920 21 22 23 Следующая ⇒