Практическая работа 25. Использование информационных технологий с помощью прикладных математических систем

Построение двумерных и трехмерных изображений средствами Maple11

1. Двумерная графика

В состав Maple входят несколько специальных пакетов для работы с графикой. Однако для построения графиков функций и простейших кривых и поверхностей нет необходимости подгружать эти пакеты. Достаточно использовать функцию plot, входящую в ядро Maple:

Щелкнув левой кнопкой мыши по рисунку, можно активизировать данный объект. При этом верхнее меню и панель управления трансформируются в состояние, предназначенное для работы с двумерной графикой.

Для того, чтобы вывести сразу несколько графиков на одном рисунке, достаточно в качестве первого аргумента функции plot использовать список.

> plot([y, (5-sqrt(x+1))^2], x=-2..5, color=[red, blue]);

В последнем примере, кроме двух обязательных параметров команды plot, использован один (из многих возможных) опциональных - color.

Для того, чтобы изобразить линию, заданную параметрически, вновь воспользуемся списком. Но в этом случае задание диапазона изменения параметра должно быть третьей компонентой списка, а не вторым самостоятельным аргументом plot.

> plot([sin(t), cos(3*t), t=-Pi..Pi]);

Основные параметры команды plot:

1) title=”text”, где text-заголовок рисунка (текст можно оставлять без кавычек, если он содержит только латинские буквы без пробелов).

2) coords=polar – установка полярных координат (по умолчанию установлены декартовы).

3) axes – установка типа координатных осей: axes=NORMAL – обычные оси; axes=BOXED – график в рамке со шкалой; axes=FRAME – оси с центром в левом нижнем углу рисунка; axes=NONE – без осей.

4) scaling – установка масштаба рисунка: scaling=CONSTRAINED – одинаковый масштаб по осям; scaling=UNCONSTRAINED – график масштабируется по размерам окна.

5) style=LINE(POINT) – вывод линиями (или точками).

6) numpoints=n – число вычисляемых точек графика (по умолчанию n=49).

7) сolor – установка цвета линии: английское название цвета, например, yellow – желтый и т.д.

8) xtickmarks=nx и ytickmarks=ny – число меток по оси Оx и оси Оy, соответственно.

9) thickness=n, где n=1, 2, 3… - толщина линии (по умолчанию n=1).

10) linestyle=n – тип линии: непрерывная, пунктирная и т.д. (n=1 – непрерывная, установлено по умолчанию).

11) symbol=s – тип символа, которым помечают точки: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND.

12) font=[f, style, size] – установка типа шрифта для вывода текста: f задает название шрифтов: TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL; style задает стиль шрифта: BOLD, ITALIC, UNDERLINE; size – размер шрифта в pt.

13) labels=[tx, ty] – надписи по осям координат: tx – по оси Оx и ty – по оси Оy.

14) discont=true – указание для построения бесконечных разрывов.

С помощью команды plot можно строить помимо графиков функций y=f(x), заданной явно, также графики функций, заданных параметрически y=y(t), x=x(t), если записать команду plot([y=y(t), x=x(t), t=a..b], parameters).

Построение графика функции, заданной неявно.

Функция задана неявно, если она задана уравнением . Для построения графика неявной функции используется команда implicitplot из графического пакета plots: implicitplot(F(x, y)=0, x=x1..x2, y=y1..y2).

Вывод текстовых комментариев на рисунок.

В пакете plots имеется команда textplot для вывода текстовых комментариев на рисунок: textplot([xo, yo, ’text’], options), где xo, yo – координаты точки, с которой начинается вывод текста ’text’.

Вывод нескольких графических объектов на один рисунок.

Часто бывает необходимо совместить на одном рисунке несколько графических объектов, полученных при помощи различных команд, например, добавить графику, нарисованному командой plot, текстовые надписи, полученные командой textplot. Для этого результат действия команды присваивается некоторой переменной:

> p: =plot(…): t: =textplot(…):

При этом на экран вывод не производится. Для вывода графических изображений необходимо выполнить команду из пакета plots:

> with(plots): display([p, t], options).

Построение двумерной области, заданной неравенствами.

Если необходимо построить двумерную область, заданную системой неравенств , то для этого можно использовать команду inequal из пакета plots. В команде inequals({f1(x, y)> c1, …, fn(x, y)> cn}, x=x1…x2, y=y1..y2, options) в фигурных скобках указывается система неравенств, определяющих область, затем размеры координатных осей и параметры. Параметры регулируют цвета открытых и закрытых границ, цвета внешней и внутренней областей, а также толщину линий границ:

- optionsfeasible=(color=red) – установка цвета внутренней области;

- optionsexcluded=(color=yellow) – установка цвета внешней области;

- optionsopen(color=blue, thickness=2) – установка цвета и толщины линии открытой границы;

- optionsclosed(color=green, thickness=3) – установка цвета и толщины линии закрытой границы.

Для изображения поверхностей в Maple используется команда plot3d.

Так же, как и команда plot, в зависимости от синтаксиса plot3d может изображать поверхности, заданные явно (в виде графика функции двух аргументов) и параметрически.

При явном задании поверхности первый аргумент команды plot3d должен определять функцию двух переменных, график которой следует построить, а следующие два аргумента задают диапазон изменения переменных (при этом границы диапазона второй переменной могут быть функциями от первой). Кроме этих обязательных параметров, могут задаваться еще несколько опциональных, отвечающих за тип системы координат (Maple " знает" несколько десятков разновидностей пространственных координат), стиль изображения, цвет, палитру, освещенность рисунка, заголовок, шрифт и стиль оформления надписей, наличие или отсутствие перспективы и т.д. В нижеследующем примере мы используем опцию grid для задания матрицы опорных значений функции.

> y: ='y': plot3d(x^2+y^2, x=-2..2, y=-sqrt(4-x^2)..sqrt(4-x^2), grid=[20, 20]);

При параметрическом задании поверхности первый аргумент представляет собой список трех функций двух переменных. Следующие два аргумента, как и в случае явного задания поверхности, определяют диапазон изменения переменных. Разумеется, при параметрическом задании поверхности также можно использовать дополнительные опции команды plot3d.

В приводимом ниже примере мы из соображений наглядности повернули изображение части сферы уже после того, как оно было построено. Для этого мы сначала просто активизировали соответствующий графический объект, щелкнув на нем мышкой, а затем вновь с помощью мыши придали ему нужное положение. Кроме того мы обесцветили рисунок, используя опции lightmodel и color, и установили масштаб изображения 1: 1.

> plot3d([sin(v), cos(u)*cos(v), sin(u)*cos(v)], u=-Pi..Pi, v=-Pi/6..Pi/2, lightmodel='none', color=white, scaling=CONSTRAINED);

Богатые графические возможности Maple не исчерпываются рассмотренными примерами. После подгрузки специализированных пакетов (о том, как это делается, речь пойдет ниже) программа может изображать многоугольники и многогранники, пространственные кривые, графы, фазовые портреты дифференциальных уравнений, производить анимацию изображений и т.д.

График поверхности, заданной явной функцией.

График функции можно нарисовать, используя команду plot3d(f(x, y), x=x1…x2, y=y1…y2, options). Параметры этой команды частично совпадают с параметрами команды plot. К часто используемым параметрам команды plot3d относится light=[angl1, angl2, c1, c2, c3] – задание подсветки поверхности, создаваемой источником света из точки со сферическими координатами (angl1, angl2). Цвет определяется долями красного (c1), зеленого (c2) и синего (c3) цветов, которые находятся в интервале [0, 1]. Параметр style=opt задает стиль рисунка: POINT –точки, LINE – линии, HIDDEN – сетка с удалением невидимых линий, PATCH – заполнитель (установлен по умолчанию), WIREFRAME – сетка с выводом невидимых линий, CONTOUR – линии уровня, PATCHCONTOUR – заполнитель и линии уровня. Параметр shading=opt задает функцию интенсивности заполнителя, его значение равно xyz – по умолчанию, NONE – без раскраски.

Практическая часть

Задание 1.

1. Построить график жирной линией в интервале от -4p до 4p. Наберите:

> plot(sin(x)/x, x=-4*Pi..4*Pi, labels=[x, y], labelfont=[TIMES, ITALIC, 12], thickness=2);

2. Построить график разрывной функции .

> plot(x/(x^2-1), x=-3..3, y=-3..3, color=magenta);

Замечание: на рисунке автоматически появляются вертикальные асимптоты.

3. Построить график параметрической кривой , , в рамке. Наберите:

> plot([sin(2*t), cos(3*t), t=0..2*Pi], axes=BOXED, color=blue);

4. Построить в полярных координатах график кардиоиды с названием. Наберите:

> plot(1+cos(x), x=0..2*Pi, title=" Cardioida", coords=polar, color=coral, thickness=2);

5. Построить два графика на одном рисунке: график функции и касательную к нему .

Наберите:

> plot([ln(3*x-1), 3*x/2-ln(2)], x=0..6, scaling=CONSTRAINED, color=[violet, gold], linestyle=[1, 2], thickness=[3, 2]);

Задание 2.

1. Построить график неявной функции (гиперболы):

> with(plots):

> implicitplot(x^2/4-y^2/2=16, x=-20..20, y=-16..16, color=green, thickness=2);

2. Построить область, ограниченную линиями: , , .

> with(plots):

> inequal({x+y> 0, x-y< =1, y=2}, x=-3..3, y=-3..3, optionsfeasible=(color=red), optionsopen=(color=blue, thickness=2), optionsclosed=(color=green, thickness=3), optionsexcluded=(color=yellow) );