Решение задач методом диаграмм Эйлера-Венна

Диаграммы Эйлера-Венна используются при решении большой группы логических задач. Условно все эти задачи можно разделить на три типа.

В задачах первого типа необходимо символически выразить мно­жества, заштрихованные на диаграммах Эйлера-Венна, используя зна­ки операций пересечения, объединения и дополнения.

Например, выразим символически все области, которые получают­ся при взаимном пересечении объемов трех понятий А, В и С.

Этих областей внутри универсального множества восемь. Обозначим каждую цифрами 1-8

Теперь выразим каждое из обозначенных множеств символически:

В задачах второго типа диаграммы Эйлера-Венна применяются для анализа ситуаций, связанных с определением класса. Рассмотрим одну из таких задач.

Если U — множество всех покупателей, А — покупатели хлеба, В — покупатели мяса, то каково значение

Изобразим ситуацию графически. Чтобы легче получать не­обходимый результат, целесообразно объединения классов изображать однонаправленной штриховкой, а для отыскания пересечений исполь­зовать разнонаправленную штриховку.

Очевидно, что речь идет о покупающих либо хлеб, либо мясо.

Третий тип задач, при решении которых используются диаграммы Эйлера-Венна, — задачи на логический счет. Вот одна из них.

Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о коли­честве изучающих различные иностранные языки: английский — 28 человек, немецкий — 30, французский — 42, английский и не­мецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и фран­цузский — 5, все три языка — 3. Сколько студентов не изучают ни одного языка?

При решении подобных задач следует соблюдать ряд правил.

1. На диаграммах Эйлера-Венна изображаются все классы, включая универсальный. Каждому классу присваивается соответствующее бук­венное обозначение.

2. Искомая часть заштриховывается.

3. На диаграмму наносятся численные значения соответствующих областей.

Решение. Пусть А — студенты, изучающие английский язык, Η — не­мецкий, Φ — французский. Тогда остальные классы являются пересече­нием названных. Изобразим ситуацию графически (рис. 11).

Рис. 11

Пересечение трех множеств состоит, по условию, из трех элементов. Отметим это на схеме. Пересечение А Н состоит из восьми эле­ментов, три из которых уже указаны; значит, изучающих английский и немецкий языки (без французского) — пять. Аналогично находим, что пересечение А 1> состоит из десяти элементов, то есть английский и французский языки (без немецкого) изучают семь студентов; пересе­чение Η Φ состоит из пяти элементов, то есть немецкий и француз­ский (без английского) изучают два человека.

Определив численные значения пересечений, не трудно заме­тить из диаграммы, что изучающих исключительно английский: 28 - (5 + 7 + 3) = 13; немецкий: 30 - (5 + 2 + 3) = 20; французский: 42 - (7 + 2 + 3) = 30. Теперь, сложив все числа внутри окружностей, мы узнаем, сколько всего студентов изучает иностранные языки: 13 + 30 + 20 + 5 + 7 + 2 + 3 = 80. Значит, ни одного языка не изучает 100 - 80 = 20 студентов.

4. Если U — множество всех покупателей, А — покупателей ав­томобилей, В — покупателей телевизоров, С — покупателей холодильников, то каковы значения:

5. В спортивной делегации 83 человека владеют английским языком, 75 — знают французский, 10 — не знают ни английского, ни французско­го языков. Сколько человек владеют обоими иностранными языками, если численность делегации 100 человек?

6. Анкетирование 100 студентов дало следующие результаты о коли­честве изучающих различные иностранные языки: английский — 28 че­ловек, немецкий — 30, французский — 42, английский и немецкий — 8, английский и французский — 10, немецкий и французский — 5, все три языка — 3. Сколько студентов не изучает ни одного языка?

7. В одной известной спортивной семье семеро детей увлекались лег­кой атлетикой, шестеро — лыжными гонками, пятеро — велоспортом. Чет­веро занимались легкой атлетикой и лыжами, трое — легкой атлетикой и велоспортом, двое — лыжными гонками и велоспортом, а один увлекал­ся легкой атлетикой, лыжами и велоспортом. Сколько детей было в семье? Сколько из них увлекалось только одним видом спорта?

8. Сколько дней в году мы работаем, а сколько отдыхаем? Займемся подсчетом. В невисокосном году 365 дней. Восемь часов в день уходит у каж­дого на сон — это 122 дня ежегодно. Вычитаем, остается 243 дня. Восемь часов в день — свободное от работы время — 122 дня в год. Вычитаем, оста­ется 121 день. Выходные дни, а их в году 52, также нерабочее время. Вычи­таем, остается 69 дней. В предвыходные дни рабочий день, как правило, укорочен — это 26 дней в году. Вычитаем, остается 43 дня. Далее, трехне­дельный отпуск — это 21 день. Вычитаем, остается 22 дня. Полчаса каждый день, затраченные на обед, составляют в год 8 дней. Вычитаем, остается 14 дней. Праздников, объявленных нерабочими днями, набирается в год 13. Вычитаем, остается всего... один день. Этот день — 1 января, когда все празднуют приход Нового года. Но мы же работаем! Когда?

9. В олимпиаде участвовало 50 человек. Арифметическую задачу ре­шили 30 человек, геометрическую — 10, логическую — 9. Все три задачи решили 2 человека, арифметическую и логическую — 7, арифметическую и геометрическую — 3, логическую и геометрическую — 4. Сколько человек:

1) решили арифметическую или геометрическую задачи;

2) решили только арифметическую задачу,

3) решили арифметическую и логическую задачи, но не решили геоме­трическую задачу;

4) решили только логическую задачу;

5) решили логическую задачу тогда и только тогда, когда решили геоме­трическую задачу;

6) не решили ни одной задачи.

10. При обследовании сотрудников некоторого научного учреждения выяснилось, что 60% из них могут читать английскую специальную литера­туру, 30% — французскую, 20% — немецкую, 15% — и английскую, и фран­цузскую, 5% — английскую и немецкую, 2% — французскую и немецкую и 1% может читать на всех трех языках. Спрашивается, каков процент со­трудников, не способных читать ни на одном из трех языков?

Практическое занятие №3

Математические и информационные модели в науке как средство работы с информацией. Функция как математическая и информационная модель. Процессы и явления, описываемые с помощью функций. График функции как модель процесса и явления

 

 

Практическое занятие №4

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. DFD - диаграмма потоков данных
2. I. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ
3. I.6. Педагогика как учебный предмет и задачи профессионального
4. III 7 Взаимодействие аллельных и неаллельных генов с решением
5. III. Борьба за разрешение восточного вопроса.
6. III.10 Задачи на сцепление генов
7. III.2 Задачи на моногибридное скрещивание
8. III.3. Композиционное и пространственное решение пейзажей
9. III.8 Задачи на взаимодействие неаллельных генов
10. Q Задача об аренде оборудования: постановка задачи и методы решения
11. VIII. Дополнения из самого раннего детства. Разрешение
12. А - структурная схема; б - условное обозначение в - временные диаграммы