Исследование свойств функции по графику функции и по графику производной.

Цель: - научиться исследовать функцию по графику и графику её производной;

- применять полученные знания при решении практических задач.

Теоретический материал

График функции и график производной функции.

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика Исследование свойств функции по графику функции и по графику производной.

Цель: - научиться исследовать функцию по графику и графику её производной;

- применять полученные знания при решении практических задач.

Теоретический материал

График функции и график производной функции.

На схеме видно как ведет себя график функции и график ее производной. В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

Примеры решения задач.

Вычисление значения производной. Метод двух точек.

Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δ x = x₂ − x₁ и приращение функции Δ y = y₂ − y₁.

3. Наконец, находим значение производной Δ y/Δ x. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

Задача. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с

абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Решение: Рассмотрим точки А( -3; 2) и В(-1; 6) и найдём приращение

Найдём значение

производной . Ответ: 2.

Вычисление точек максимума и минимума.

Иногда вместо графика функции в задаче дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции.

1. Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≥ f(x).

2. Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x₀) ≤ f(x).

Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.

2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x₀ известно, что f’(x₀) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x₀) ≥ 0 или f’(x₀) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.

3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

Эта схема работает только для непрерывных функций.

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -5; 5]. Найдите точку минимума функции на этом отрезке.

Решение:

Избавимся от лишней информации – оставим только границы [ -5; 5] и нули производной х = -3 и х = 2, 5.

Также отметим знаки. Тогда точка минимума х = -3, так как знак меняется с минуса на плюс.

Ответ: -3.

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -6; 4]. Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку

[ -4; 3].

Решение:

Отмечаем границы [-4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки х = -3, 5 и х = 2. На этом графике лишь одна точка максимума х = 2.

Ответ: 2

Нахождение интервалов возрастания и убывания функции.

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает.

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁ и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.

2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке [a; b] если для любых двух точек x₁и x₂ из этого отрезка верно утверждение: x₁ ≤ x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.

2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке [a; b], достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т.е. f’(x) ≤ 0.

Схема для нахождения интервалов возрастания и убывания:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.

2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.

3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображён график производной функции , определённой на отрезке

[ -3; 7, 5]. Найдите промежутки убывания функции на этом отрезке. В ответе

укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Решение:

Отметим границы [ -3; 7, 5], а также нули производной

х = -1, 5 и х = 5, 3. Затем отметим знаки производной.

Так как на интервале ( -1; 5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Просуммируем все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:

-1 + 0+1 +2 +3 +4 +5 = 14.

Ответ: 14.

Выполните задания.

1 уровень.

1. На рисунке изображён график функции y = x². 2. На рисунке изображён график функции

Нарисуйте касательную к этому графику в точке y = f(x). Какая из прямых является

. касательной к графику этой функции

в точке А?

3. Функция определена на промежутке . Используя изображенный на рисунке график производной функции , определите количество касательных к графику функции, которые составляют угол с положительным направлением оси Ox.

2 уровень.

На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (– 3; 8).

4. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции

параллельна прямой у = 1.

5. Найдите количество точек экстремума на отрезке [– 3; 4].

6. Определите количество целых точек, в которых производная

функции положительна.

7. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к

нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции

f(x) в точке .

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале (– 6; 8).

8. Найдите количество точек, в которых касательная к графику

функции у = f(x) параллельна прямой у = х + 7 или совпадает

с ней.

9. Найдите количество точек экстремума функции.

10. Найдите промежутки возрастания функции .

В ответе укажите длину наибольшего из них.

11. На рисунке изображен график производной функции ,

определенной на интервале (– 10; 3). В какой точке отрезка

[–5; 1] функция f(x) принимает наименьшее значение?

Диаграммы

1. Создайте диаграмму в программе Microsoft Word

Наведите указатель мыши на кнопку «Вставка» строки главного меню и нажмите левую кнопку мыши. В раскрывшемся меню выберите строку «Рисунок» ► «Диаграмма» и нажмите левую кнопку мыши.

В документ будет вставлен шаблон диаграммы.

Введите данные в «Таблицу данных». Для ввода данных выделите нужную ячейку, щёлкнув на ней левой кнопкой мыши, и наберите на клавиатуре нужные значения.

2. Задайте параметры диаграммы

Наведите указатель мыши на кнопку «Диаграмма» строки главного меню и нажмите левую кнопку мыши. В раскрывшемся меню выберите строку «Параметры диаграммы…» и нажмите левую кнопку мыши.

В открывшемся окне «Параметры диаграммы» установите необходимые параметры диаграммы.

Для завершения создания диаграммы щёлкните левой кнопкой мыши на свободной области листа.

3. Отформатируйте созданную диаграмму

Выделите диаграмму, нажав на ней левой кнопкой мыши. Наведите указатель мыши на чёрный квадратик в углу рамки диаграммы, нажмите левую кнопку мыши и удерживая её измените размер диаграммы.

Сделайте двойной щёлчок мышью на диаграмме. Наведите указатель на подписи данных и нажмите правую кнопку мыши. В открывшемся меню выберите пункт «Формат подписей денных».

В открывшемся окне «Формат подписей данных» выберите вкладку «Шрифт» и щелкните на ней левой кнопкой мыши.

Установите начертание шрифта – «Обычный», размер шрифта – «10». Нажмите кнпку «ОК».

Для завершения построения диаграммы необходимо нажать левой кнопкой мыши в свободной области листа.

Практическое занятие №2

«Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера».

Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.

Блок 1 . Множества и операции над ними.

1. Перечислите элементы множеств:

а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)

б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4; …)

в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2; …).

2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).

3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля,

Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).

4.Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).

5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.

6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие,

земноводные, хладнокровные и т.п.).

7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).

8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,

С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных

разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок {, }.

Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать не запятую, а знак препинания «; » - точку с запятой. Так как «перечислительную» запятую можно спутать с «десятичной» запятой.

Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв русского алфавита задается {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} или {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют знак « = ».

{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Чтобы задать конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.

Например, запись А = {2; 3; 5; 7; 11; 13} означает, что множество А состоит из первых шести простых чисел.

Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.

Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество всех квадратов натуральных чисел можно записать {1; 4; 9; 16; 25; …}, а множество всех чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать {х | 5< х < 12} или (5; 12). В примерах использован оборот « … и так далее» и символ « | » внутри фигурных скобок заменяющий комбинацию слов « … таких, что …». (Множество всех х таких, что 5< х < 12).

Описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве С сказано, что оно состоит из чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 3. Таких чисел просто нет. В подобных случаях множество называют пустым и обозначают символом Ø, в фигурные скобки его не ставят, так как никакого перечисления элементов пустого множества не происходит.

Задание 1.

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};

г) А = {0, 1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5, 4, 6}, Р = {4, 5, 6}, Т = {5, 6, 7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р ≠ S. в) М ≠ Т. г) Р = Т.

Словесные обороты, как «элемент х принадлежит множеству А» или «х – элемент

множества А», достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х А, где – знак принадлежности.

Например, 5 N, лучше читать не буквально, а в «литературном переводе», «5 – число натуральное». Наряду со знаком принадлежит используют и его «отрицание» - знак ( знак не принадлежит ). Запись 0 N означает, что нуль не натуральное число.

Задание 2.

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное;

б) число – 7 не является натуральным;

в) число – 100 является целым;

г) число 2, 5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2, (45) Q?

3. Верно ли, что:

а) 0, 7 {х | х² – 1 < 0}; б) – 7 {х | х² + 16х ≤ - 64}?

Возьмем множество А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что ножество А является подмножеством множества В, и пишут: А В.

Знак « » называют знаком включения.

Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью так называемых кругов Эйлера (Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик, физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга (рис 1).

Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В

Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств Рис. 1 взяты из некоторого одного и того же «универсального» множества К. Это множество будем изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … - подмножества множества К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).

Задание 3.

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное

утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}.

Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать

новые множества:

1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат

и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В

обозначают так: А∩ В. Это определение можно записать и так:

А∩ В = {х | х А и х В}. Иными словами, пересечение двух А∩ В К

множеств - это их общая часть. Например, если А = {3; 9; 12} и Рис. 2

В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то А∩ В = {3; 9}. Если А = {10; 20; …90; 100} и В = {6; 12; 18; …}, то

А∩ В = {30; 60; 90}. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и

т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: В∩ С∩ D.

Задание 4.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) А∩ В; б) А∩ С; в) С∩ В.

2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3; …, 41}.

Найдите А∩ В.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (А∩ В)∩ С.

2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов,

которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или

множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств

А и В обозначают так: АUВ.

Это определение можно записать и так:

АUВ = {х | х А или х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и

В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Можно АUВ К

рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т. д. Рис. 3

множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.

Задание 5.

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7, 7; 11), В = [ ; ], С = ( ; 13].

Найдите (АUВ)UС.

3) Разность А и В это множество элементов А, не принадлежащих В

(рис.4). Разность А и В обозначают так: А\ В. Например,

если А = {2; 4; 6; 8; 10} и В = {5; 10; 15; 20}, то А\ В={2; 4; 6; 8}.

4) Дополнение множества А обозначают так: Ā (рис. 5).

Дополнение множества до множества К: Ā = К\А.

Например, если А = {3; 6; 9; 12} и

К = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …}, то Ā = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11; 13; …}.

нет; в) да; г) да.

Приложение

12 3 4 5 Следующая ⇒