Принцип наименьшего действия

В XVIII веке происходит дальнейшее накопление и систематизация научных результатов, отмеченные тенден­цией объединения отдельных научных достижений в стро­го упорядоченную, связную картину мира с помощью систематического применения методов математическо­го анализа к исследованию физических явлений. Рабо­та многих блестящих умов в этом направлении привела к созданию базисной теории механистической исследова­тельской программы — аналитической механики, на осно­ве положений которой были созданы различные фунда­ментальные теории, описывающие конкретный класс конк-

ретных явлений: гидродинамика, теория упругости, аэро­динамика и т. д. Одним из важнейших результатов ана­литической механики является принцип наименьшего действия (вариационный принцип), имеющий важное зна­чение для понимания процессов, происходящих в физике конца XX века.

Корни возникновения вариационных принципов в на­уке уходят в Древнюю Грецию и связаны с именем Геро-на из Александрии. Идея любого вариационного принци­па состоит в том, чтобы варьировать (изменять) некоторую величину, характеризующую данный процесс, и отбирать из всех возможных процессов тот, для которого данная вели­чина принимает экстремальное (максимальное или мини­мальное) значение. Герон попытался объяснить законы отражения света, варьируя величину, характеризующую длину пути, проходимым лучом света от источника к на­блюдателю при отражении его от зеркала. Он пришел к выводу, что из всех возможных путей луч света выбирает кратчайший (из всех геометрически возможных).

В XVII веке, спустя две тысячи лет, французский мате­матик Ферма обратил внимание на принцип Герона, распро­странил его для сред с различными показателями прелом­ления, переформулировав его в связи с этим в терминах времени. Принцип Ферма гласит: в преломляющей среде, свойства которой не зависят от времени, световой луч, про­ходя через две точки, выбирает себе такой путь, чтобы вре­мя, необходимое ему для прохождения от первой точки ко второй, было минимальным. Принцип Герона оказывается частным случаем принципа Ферма для сред с постоянным коэффициентом преломления.

Принцип Ферма привлек пристальное внимание со­временников. С одной стороны, он как нельзя лучше сви­детельствовал о «принципе экономии» в природе, о ра­циональном божественном замысле, реализованном в уст­ройстве мира, с другой — он противоречил ньютоновской корпускулярной теории света. Согласно Ньютону получа­лось, что в более плотных средах скорость света должна быть больше, в то время как из принципа Ферма вытека­ло, что в таких средах скорость света становится меньшей.

В 1740 году математик Пьер Луи Моро де Мопертюи, критически анализируя принцип Ферма и следуя теоло-

гическим мотивам о совершенстве и наиболее экономном устройстве Вселенной, провозгласил в работе «О различ­ных законах природы, казавшихся несовместимыми» принцип наименьшего действия. Мопертюи отказался от наименьшего времени Ферма и ввел новое понятие — дей­ствие. Действие равняется произведению импульса тела (количества движения Р = mV) на пройденный телом путь. Время не имеет какого-либо преимущества перед простран­ством, равно как и наоборот. Поэтому свет выбирает не кратчайший путь и не наименьшее время для его прохож­дения, а согласно Мопертюи, «выбирает путь, дающий бо­лее реальную экономию: путь, по которому он следует, — это путь, на котором величина действия минимальна». Принцип наименьшего действия в дальнейшем был развит в работах Эйлера и Лагранжа; он явился основой, на ко­торой Лагранж развил новую область математического анализа — вариационное исчисление. Дальнейшее обобще­ние и завершенную форму этот принцип получил в рабо­тах Гамильтона. В обобщенном виде принцип наименьше­го действия использует понятие действия, выраженного не через импульс, а через функцию Лагранжа. Для случая од­ной частицы, движущейся в некотором потенциальном поле, функция Лагранжа может быть представлена как разность кинетической и потенциальной энергии:

(Понятие «энергия» подробно обсуждается в главе 3 настоящего раздела.)

Произведение называется элементарным действи­ем. Полным действием называется сумма всех значений на всем рассматриваемом интервале времен, иными словами, полное действие А:

Уравнения движения частицы могут быть получены с помощью принципа наименьшего действия, согласно которо­му реальное движение происходит так, что действие оказы­вается экстремальным, то есть его вариация обращается в 0:

Вариационный принцип Лагранжа-Гамильтона легко допускает распространение на системы, состоящие из не-

скольких (множества) частиц. Движение таких систем обыч­но рассматривают в абстрактном пространстве (удобный ма­тематический прием) большого числа измерений. Скажем, для N точек вводят некоторое абстрактное пространство 3N координат N частиц, образующих систему, называемую конфи­гурационным пространством. Последовательность различных состояний системы изображается кривой в этом конфигу­рационном пространстве — траекторией. Рассматривая все возможные пути, соединяющие две заданные точки это­го 3N-Mepнoгo пространства, можно убедиться, что реаль­ное движение системы происходит в соответствии с прин­ципом наименьшего действия: среди всех возможных тра­екторий реализуется та, для которой действие экстремально по всему интервалу времени движения.

При минимизации действия в классической механике получают уравнения Эйлера-Лагранжа, связь которых с законами Ньютона хорошо известна. Уравнения Эйлера-Лагранжа для лагранжиана классического электромагнит­ного поля оказываются уравнениями Максвелла. Таким образом, мы видим, что использование лагранжиана и прин­ципа наименьшего действия позволяет задавать динамику частиц. Однако лагранжиан обладает еще одной важной особенностью, что и сделало лагранжев формализм основ­ным в решении практически всех задач современной фи­зики. Дело в том, что наряду с ньютоновской механикой в физике уже в XIX веке были сформулированы законы со­хранения для некоторых физических величин: закон со­хранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохра­нения момента импульса, закон сохранения электрическо­го заряда. Число законов сохранения в связи с развитием квантовой физики и физики элементарных частиц в на­шем столетии стало еще больше. Возникает вопрос, как найти общую основу для записи как уравнений движения (скажем, законов Ньютона или уравнений Максвелла), так и сохраняющихся во времени величин. Оказалось, что та­кой основой является использование лагранжева форма­лизма, ибо лагранжиан конкретной теории оказывается инвариантным (неизменным) относительно преобразований, соответствующих конкретному рассматриваемому в данной теории абстрактному пространству, следствием чего и яв­ляются законы сохранения. Эти особенности лагранжиа-

на привели к целесообразности формулировки физических теорий на языке лагранжианов. Осознание этого обстоя­тельства пришло в физику благодаря возникновению тео­рии относительности Эйнштейна.

⇐ Предыдущая10111213141516171819Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. I. Методические принципы физического воспитания (сознательность, активность, наглядность, доступность, систематичность)
2. III. Принцип дифференциации – интеграции, выступающий в качестве критерия развития структуры.
3. IV. Принцип уважения автономии пациента
4. V. Несколько принципиальных соображений
5. V.4. Принципы и правила создания культурных ландшафтов
6. VI. Предотвращение негативного воздействия на работу централизованных систем водоотведения
7. XIII. 2. Анализ волевого действия.
8. А. Особые принципы чудотворцев
9. АБСОРБЦИОННЫЕ МАШИНЫ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
10. Активность субъектов, их взаимодействие, системность как принципы социально-педагогической деятельности
11. Алгоритм действия работодателя при проведение реорганизации
12. Алгоритм действия фельдшера на догоспитальном этапе