Некоторые законы распределения случайных величин

Биномиальный закон распределения случайной величины

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления некоторого события А одна и та же , при этом событие А может наступить k раз.

СВ Х называется распределённой по биномиальному закону, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Бернулли

Постоянные величины n и p (q=1-p) называются параметрами биномиального закона распределения. Этот закон распределения можно записать в виде таблицы:

Х				…	k
p				…

Пример 1. Приживаемость саженцев 90%. В питомнике куплены 4 саженца и посажены на дачном участке. Обозначим СВ Х={количество прижившихся саженцев}. Эта СВ будет распределена по биномиальному закону с параметрами n=4 и p=0.9.

Закон Пуассона

СВ Х называется распределённой по закону Пуассона, если она может принимать возможные значения X=k с вероятностями, определяемыми по формуле Пуассона

, .

Постоянная величина называется параметром этого закона распределения. В этом случае закон распределения СВ Х можно записать в виде таблицы:

Х				…	k
p				…

Математическое ожидание и дисперсия СВ Х, распределённой по закону Пуассона, одинаковы и каждая из этих характеристик равна параметру : .

Равномерное распределение в интервале

Если все возможные значения СВ содержатся в интервале (a, b) и плотность распределения вероятностей постоянна, то эта СВ называется равномерно распределённой в этом интервале.

Из определения такой СВ следует, что

По одному из свойств плотности распределения . Тогда . Следовательно,

График плотности распределения имеет вид:

•

f(x)

Функция распределения равна

График функции распределения имеет вид:

•

F(x)

Нормальный закон распределения и его параметры

Пусть плотность распределения вероятностей СВ Х выражается функцией , где а и - параметры.

В этом случае говорят, что СВ Х распределена по нормальному закону и её называют нормальной СВ. Нормальный закон распределения играет большую роль в теории и практике.

Можно показать, что математическое ожидание нормально распределённой СВ Х равно параметру a, т.е. , дисперсия нормальной СВ Х равна , а .

Вероятность попадания нормальной случайной величины в заданный интервал и вероятность заданного отклонения

Пусть СВ Х имеет плотность распределения . Тогда вероятность того, что эта СВ примет значение в интервале , выражается формулой

В нашем случае . Тогда

Найдём интеграл в правой части равенства и получим:

, (1)

Где .

Таким образом, вероятность попадания нормальной СВ в заданный интервал определяется по формуле (1).

Рассмотрим нормальную СВ Х. Из неравенства следует, что . Тогда

.

Таким образом, для нормальной СВ вероятность того, что отклонение этой величины от её математического ожидания по абсолютной величине не больше заданного числа , вычисляется по формуле

.

Положим , т.е. . Тогда .

При t=1 .

При t=2 .

При t=3 .

Таким образом, если СВ Х распределена по нормальному закону, то практически достоверно, что отклонение этой величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превзойдёт утроенного среднего квадратического отклонения.

Это утверждение называется правилом «трёх сигм» и обычно используется в математической статистике.

Решения задач с нормальной случайной величиной

Пример 2. Найти вероятность того, что нормальная СВ с математическим ожиданием 3 и дисперсией 4 примет значение в интервале (-1, 5).

Решение. По условию . Тогда

Пример 3. Известно, что масса клубня картофеля определённого сорта является нормально распределённой СВ Х с математическим ожиданием 110 г и средним квадратическим отклонением 30 г. Клубень считается стандартным, если он не повреждён и имеет массу 90-150 г. Определить: 1) процент стандартного картофеля в урожае, если повреждено 10% клубней; 2) величину, которую не превзойдёт масса отдельного клубня с вероятностью 0.95.

Решение. 1) По условию .

Тогда .

Это означает, что в урожае имеется 65.68% клубней массой от 90 до 150 г. Так как 90% клубней не повреждено, то процент стандартного картофеля равен 65.68% 0.9=59.11%.

2) По условию . Требуется найти . Применим формулу .

Тогда , ,

. Так как , то . По таблице найдём . Отсюда г. Таким образом, можно утверждать, что с вероятностью 0.95 масса отдельного клубня картофеля не превзойдёт 159.5 г.

Пример 4. Автомат изготавливает шарики для подшипников. Обозначим СВ Х={отклонение фактического диаметра шарика от проектного}. Шарик считается годным, если отклонение диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0.7 мм. СВ Х распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0.4 мм. Найти число годных шариков среди 100 изготовленных.

Решение. По условию . Воспользуемся формулой

. Так как СВ Х - отклонение, то . Тогда .

Таким образом, вероятность отклонения, по абсолютной величине меньшего 0.7, равна 0.92. Это означает, что из 100 изготовленных шариков примерно 92 окажутся годными.

Пример 5. Станок изготавливает детали. Обозначим СВ Х={фактический размер детали}. Эта СВ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 25 мм (проектный размер) и средним квадратическим отклонением 0.5 мм. Годными считаются детали, размер которых заключён между 23.5 мм и 25.5 мм. Определить: 1) процент бракованных деталей; 2) процент деталей, диаметр которых отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

Решение. 1) По условию .

Воспользуемся формулой . Тогда

. Это означает, что годные детали составляют 84%, а бракованные – 16%.

2) По условию . В этом случае воспользуемся формулой . Тогда . Это означает, что 31% деталей имеют диаметр, который отклоняется от проектного на величину, не превышающую 0.2 мм.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 56