Классическое определение вероятности

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 6Следующая ⇒

События называются равновозможными, если при данном испытании каждое из них имеет одинаковую возможность наступить. Под элементарными событиями понимают равновозможные и единственно возможные события, которые могут наступить при данном испытании.

Пример 10. Бросается игральный кубик. Обозначим события:

={выпало одно очко};

={выпало два очка};

={выпало три очка};

={выпало четыре очка};

={выпало пять очков};

={выпало шесть очков};

H={выпало чётное число очков}.

События являются элементарными. Наступление каждого из событий приводит к наступлению события H.

Пример 11. Партия содержит 200 деталей. Из них 4 детали нестандартные, а остадьные196 стандартные. Все детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлечение каждой из 200 деталей является элементарным событием. Наугад извлекаем одну деталь. Она может оказаться как стандартной, так и нестандартной. Обозначим события:

А = {извлечена стандартная деталь};

B = {извлечена нестандартная деталь}.

Очевидно, что события А и В не будут равновозможными и что событие В менее возможно, чем событие А. Это видно из того, что из общего числа 200 элементарных событий наступлению события А способствуют 196, а наступлению события В – 4.

Пусть в результате испытания может наступить конечное число n элементарных событий. Среди этих событий имеется k таких, наступление которых ведёт к наступлению некоторого события А. Такие события называются благоприятствующими для события А.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных событий, благоприятствующих для события А, к числу n всех возможных элементарных событий: . Такое определение вероятности называется классическим.

Пример 12. Брошен игральный кубик. Найти вероятность того, что число выпавших очков будет чётным.

Решение. Обозначим события:

A={выпало чётное число очков};

={выпало 2 очка};

={выпало 4 очка};

={выпало 6 очков}.

Всех возможных элементарных событий шесть. Благоприятствующими для А будут события . Таким образом, для события А благоприятствуют три элементарных события из шести возможных. Следовательно, .

Из классического определения вероятности следуют её свойства:

Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(U)=1.

Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(V)=0.

Вероятность случайного события находится в интервале (0; 1), т.е. 0< P(A)< 1.

Следует отметить, что для вычисления вероятности некоторого события А нет необходимости проводить какие-либо испытания. Нужно лишь подсчитать число элементарных событий, благоприятствующих для события А, и общее число всех возможных элементарных событий. Таким образом, используя классическое определение вероятности, можно найти вероятность события до опыта.

Элементы комбинаторики

При непосредственном вычислении вероятности события А часто рассматриваются различные комбинации из множества n элементов по m элементов .

Рассмотрим три вида комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановками из n элементов называются всевозможные упорядоченные множества, содержащие все данные n элементов.

Пример 13. Сколько трёхзначных чисел можно образовать из неповторяющихся цифр 1, 2, 3?

Число всех перестановок обозначают и находят по формуле (n – факториал). По определению принимают .

Пример 14. Сколькими способами можно расположить в ряд на книжной полке 5 различных книг?

Размещениями из n элементов по m элементов (m< n) называются всевозможные упорядоченные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга или самими элементами или их порядком.

Пример 15. Сколько двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2 и 3, если каждая цифра входит в число только один раз.

Обозначается число размещений из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

Если m=n, то размещения совпадают с перестановками.

Пример 16. Студенты данного курса изучают 6 учебных предметов. В расписание занятий можно поставить 3 различных предмета в день. Сколько существует различных способов, чтобы составить расписание на данный день?

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются всевозможные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Обозначается число сочетаний из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

Пример 17. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов. Сколько существует для преподавателя способов задать студенту 3 вопроса, которые он не знает?

Пример 18. Бросается монета правильной формы. Какова вероятность выпадения герба?

Пример 19. Среди 50 деталей 20 первого сорта и 30 второго сорта. Найти вероятность того, что из взятых наугад пяти деталей окажутся 2 первого сорта и 3 второго.

Статистическая вероятность

Предположим, что в n испытаниях некоторое событие А наступило k раз. Число k называется частотой события А. Отношение частоты k события А к числу испытаний n называется частостью или относительной частотой этого события и обозначается .

Пример 20. ОТК из 200 взятых наугад деталей обнаружил 5 бракованных. Обозначим событие А={число бракованных деталей}. Тогда .

Как уже отмечалось, при бросании монеты выпадение «герба» является случайным событием. Произведём с монетой серию из испытаний, т.е. подбросим монету раз. Пусть «герб» выпал раз. Тогда относительная частота выпадения «герба» в данной серии равна . Будем проводить такие же серии испытаний и получим соответствующие им относительные частоты , и т.д. В результате можно увидеть, что для достаточно больших значений относительные частоты колеблются около числа и незначительно отличаются от него.

Статистической вероятностью некоторого события А называется число, около которого группируются относительные частоты этого события. При этом при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа независимых друг от друга испытаний относительные частоты становятся почти одинаковыми и их отклонения от этого числа незначительны.

При достаточно большом числе независимых друг от друга испытаний в данной серии относительная частота события А может служить приближённой оценкой вероятности этого события, т.е. .

Вероятность некоторого события А по классическому определению вычисляется до опыта, а по статистическому определению вероятность можно найти лишь после опыта.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒