Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии 


Классическое определение вероятности




 

События называются равновозможными, если при данном испытании каждое из них имеет одинаковую возможность наступить. Под элементарными событиями понимают равновозможные и единственно возможные события, которые могут наступить при данном испытании.

Пример 10. Бросается игральный кубик. Обозначим события:

={выпало одно очко};

={выпало два очка};

={выпало три очка};

={выпало четыре очка};

={выпало пять очков};

={выпало шесть очков};

H={выпало чётное число очков}.

События являются элементарными. Наступление каждого из событий приводит к наступлению события H.

Пример 11. Партия содержит 200 деталей. Из них 4 детали нестандартные, а остадьные196 стандартные. Все детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлечение каждой из 200 деталей является элементарным событием. Наугад извлекаем одну деталь. Она может оказаться как стандартной, так и нестандартной. Обозначим события:

А = {извлечена стандартная деталь};

B = {извлечена нестандартная деталь}.

Очевидно, что события А и В не будут равновозможными и что событие В менее возможно, чем событие А. Это видно из того, что из общего числа 200 элементарных событий наступлению события А способствуют 196, а наступлению события В – 4.

Пусть в результате испытания может наступить конечное число n элементарных событий. Среди этих событий имеется k таких, наступление которых ведёт к наступлению некоторого события А. Такие события называются благоприятствующими для события А.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных событий, благоприятствующих для события А, к числу n всех возможных элементарных событий:. Такое определение вероятности называется классическим.

Пример 12. Брошен игральный кубик. Найти вероятность того, что число выпавших очков будет чётным.

Решение. Обозначим события:

A={выпало чётное число очков};

={выпало 2 очка};

={выпало 4 очка};

={выпало 6 очков}.

Всех возможных элементарных событий шесть. Благоприятствующими для А будут события . Таким образом, для события А благоприятствуют три элементарных события из шести возможных. Следовательно, .

Из классического определения вероятности следуют её свойства:

Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(U)=1.

Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(V)=0.

Вероятность случайного события находится в интервале (0;1), т.е. 0<P(A)<1.

Следует отметить, что для вычисления вероятности некоторого события А нет необходимости проводить какие-либо испытания. Нужно лишь подсчитать число элементарных событий, благоприятствующих для события А, и общее число всех возможных элементарных событий. Таким образом, используя классическое определение вероятности, можно найти вероятность события до опыта.

 

Элементы комбинаторики

 

При непосредственном вычислении вероятности события А часто рассматриваются различные комбинации из множества n элементов по m элементов .

Рассмотрим три вида комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановками из n элементов называются всевозможные упорядоченные множества, содержащие все данные n элементов.

Пример 13. Сколько трёхзначных чисел можно образовать из неповторяющихся цифр 1, 2, 3?

Число всех перестановок обозначают и находят по формуле (n – факториал). По определению принимают .

Пример 14. Сколькими способами можно расположить в ряд на книжной полке 5 различных книг?

Размещениями из n элементов по m элементов (m<n) называются всевозможные упорядоченные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга или самими элементами или их порядком.

Пример 15. Сколько двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2 и 3, если каждая цифра входит в число только один раз.

Обозначается число размещений из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

.

Если m=n, то размещения совпадают с перестановками.

Пример 16. Студенты данного курса изучают 6 учебных предметов. В расписание занятий можно поставить 3 различных предмета в день. Сколько существует различных способов, чтобы составить расписание на данный день?

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются всевозможные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Обозначается число сочетаний из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

.

Пример 17. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов. Сколько существует для преподавателя способов задать студенту 3 вопроса, которые он не знает?

Пример 18. Бросается монета правильной формы. Какова вероятность выпадения герба?

Пример 19. Среди 50 деталей 20 первого сорта и 30 второго сорта. Найти вероятность того, что из взятых наугад пяти деталей окажутся 2 первого сорта и 3 второго.

 

Статистическая вероятность

Предположим, что в n испытаниях некоторое событие А наступило k раз. Число k называется частотой события А. Отношение частоты k события А к числу испытаний n называется частостью или относительной частотой этого события и обозначается .

Пример 20. ОТК из 200 взятых наугад деталей обнаружил 5 бракованных. Обозначим событие А={число бракованных деталей}. Тогда .

Как уже отмечалось, при бросании монеты выпадение «герба» является случайным событием. Произведём с монетой серию из испытаний, т.е. подбросим монету раз. Пусть «герб» выпал раз. Тогда относительная частота выпадения «герба» в данной серии равна . Будем проводить такие же серии испытаний и получим соответствующие им относительные частоты , и т.д. В результате можно увидеть, что для достаточно больших значений относительные частоты колеблются около числа и незначительно отличаются от него.

Статистической вероятностью некоторого события А называется число, около которого группируются относительные частоты этого события. При этом при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа независимых друг от друга испытаний относительные частоты становятся почти одинаковыми и их отклонения от этого числа незначительны.

При достаточно большом числе независимых друг от друга испытаний в данной серии относительная частота события А может служить приближённой оценкой вероятности этого события, т.е. .

Вероятность некоторого события А по классическому определению вычисляется до опыта, а по статистическому определению вероятность можно найти лишь после опыта.





Рекомендуемые страницы:


Читайте также:

  1. III.ОПРЕДЕЛЕНИЕ УЩЕРБА И ВЫПЛАТА СТРАХОВОГО ВОЗМЕЩЕНИЯ.
  2. VI. Определение девиации по сличению показаний двух компасов
  3. А. Определение марки цемента
  4. Адаптация детей к началу обучения в школе, понятие адаптации, факторы, влияющие на ее успешность. Определение готовности детей к школе.
  5. Алгоритм максимальной апостериорной вероятности (МАП).
  6. Анализ объема продаж в отрасли и определение доли рынка компании.
  7. Виды медицинской помощи – определение, место оказания, оптимальные сроки оказания различных видов, привлекаемые силы и средства
  8. Вопрос 1. Определение финансовых результатов деятельности страховой организации
  9. ВОПРОС 19. Производительность труда: определение, показатели. Выработка и трудоемкость, их характеристика
  10. Вопрос 26. Экспрессивный синтаксис. Определение понятия «стилистическая фигура». Стилистические фигуры в художественной литературе и современном публицистическом дискурсе.
  11. Вопрос бизнес и предпринимательство понятие сущность и определение.
  12. ВОПРОС № 4. Дать определение рабочему давлению.


Последнее изменение этой страницы: 2016-03-22; Просмотров: 255; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2019 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.013 с.) Главная | Обратная связь