Случайные события и их классификация

Теория вероятностей

Предмет теории вероятностей

Многие явления в окружающем нас мире носят случайный характер. Если такое явление наблюдать один раз, то нельзя точно предсказать, как оно будет протекать. Если же такое явление наблюдать многократно, то можно описать его количественно.

При бросании монеты один раз невозможно предсказать, что выпадет – «герб» или «цифра». Если же подбрасывать монету много раз, то число выпадений «герба» и число выпадений «цифры» будут мало отличаться друг от друга.

При повторении физических опытов их результаты хотя бы немного будут отличаться друг от друга, даже если эти опыты проводились на одних и тех же приборах при сохранении определённых условий (температура, влажность и др.). Многократное проведение опытов и в этом случае не даёт возможности точно предсказать результат следующего опыта.

Тем не менее, в мире случайностей обнаруживаются определённые закономерности, математический аппарат для изучения которых даёт теория вероятностей.

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности массовых однородных случайных явлений.

Классическое определение вероятности

События называются равновозможными, если при данном испытании каждое из них имеет одинаковую возможность наступить. Под элементарными событиями понимают равновозможные и единственно возможные события, которые могут наступить при данном испытании.

Пример 10. Бросается игральный кубик. Обозначим события:

={выпало одно очко};

={выпало два очка};

={выпало три очка};

={выпало четыре очка};

={выпало пять очков};

={выпало шесть очков};

H={выпало чётное число очков}.

События являются элементарными. Наступление каждого из событий приводит к наступлению события H.

Пример 11. Партия содержит 200 деталей. Из них 4 детали нестандартные, а остадьные196 стандартные. Все детали имеют одинаковый вес и по внешнему виду ничем не отличаются. Извлечение каждой из 200 деталей является элементарным событием. Наугад извлекаем одну деталь. Она может оказаться как стандартной, так и нестандартной. Обозначим события:

А = {извлечена стандартная деталь};

B = {извлечена нестандартная деталь}.

Очевидно, что события А и В не будут равновозможными и что событие В менее возможно, чем событие А. Это видно из того, что из общего числа 200 элементарных событий наступлению события А способствуют 196, а наступлению события В – 4.

Пусть в результате испытания может наступить конечное число n элементарных событий. Среди этих событий имеется k таких, наступление которых ведёт к наступлению некоторого события А. Такие события называются благоприятствующими для события А.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных событий, благоприятствующих для события А, к числу n всех возможных элементарных событий: . Такое определение вероятности называется классическим.

Пример 12. Брошен игральный кубик. Найти вероятность того, что число выпавших очков будет чётным.

Решение. Обозначим события:

A={выпало чётное число очков};

={выпало 2 очка};

={выпало 4 очка};

={выпало 6 очков}.

Всех возможных элементарных событий шесть. Благоприятствующими для А будут события . Таким образом, для события А благоприятствуют три элементарных события из шести возможных. Следовательно, .

Из классического определения вероятности следуют её свойства:

Вероятность достоверного события равна 1, т.е. P(U)=1.

Вероятность невозможного события равна 0, т.е. P(V)=0.

Вероятность случайного события находится в интервале (0; 1), т.е. 0< P(A)< 1.

Следует отметить, что для вычисления вероятности некоторого события А нет необходимости проводить какие-либо испытания. Нужно лишь подсчитать число элементарных событий, благоприятствующих для события А, и общее число всех возможных элементарных событий. Таким образом, используя классическое определение вероятности, можно найти вероятность события до опыта.

Элементы комбинаторики

При непосредственном вычислении вероятности события А часто рассматриваются различные комбинации из множества n элементов по m элементов .

Рассмотрим три вида комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

Перестановками из n элементов называются всевозможные упорядоченные множества, содержащие все данные n элементов.

Пример 13. Сколько трёхзначных чисел можно образовать из неповторяющихся цифр 1, 2, 3?

Число всех перестановок обозначают и находят по формуле (n – факториал). По определению принимают .

Пример 14. Сколькими способами можно расположить в ряд на книжной полке 5 различных книг?

Размещениями из n элементов по m элементов (m< n) называются всевозможные упорядоченные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга или самими элементами или их порядком.

Пример 15. Сколько двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2 и 3, если каждая цифра входит в число только один раз.

Обозначается число размещений из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

Если m=n, то размещения совпадают с перестановками.

Пример 16. Студенты данного курса изучают 6 учебных предметов. В расписание занятий можно поставить 3 различных предмета в день. Сколько существует различных способов, чтобы составить расписание на данный день?

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются всевозможные множества по m элементов, образованные из данных n элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Обозначается число сочетаний из n элементов по m элементов символом и вычисляется по формуле

Пример 17. Студент пришёл на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов. Сколько существует для преподавателя способов задать студенту 3 вопроса, которые он не знает?

Пример 18. Бросается монета правильной формы. Какова вероятность выпадения герба?

Пример 19. Среди 50 деталей 20 первого сорта и 30 второго сорта. Найти вероятность того, что из взятых наугад пяти деталей окажутся 2 первого сорта и 3 второго.

Статистическая вероятность

Предположим, что в n испытаниях некоторое событие А наступило k раз. Число k называется частотой события А. Отношение частоты k события А к числу испытаний n называется частостью или относительной частотой этого события и обозначается .

Пример 20. ОТК из 200 взятых наугад деталей обнаружил 5 бракованных. Обозначим событие А={число бракованных деталей}. Тогда .

Как уже отмечалось, при бросании монеты выпадение «герба» является случайным событием. Произведём с монетой серию из испытаний, т.е. подбросим монету раз. Пусть «герб» выпал раз. Тогда относительная частота выпадения «герба» в данной серии равна . Будем проводить такие же серии испытаний и получим соответствующие им относительные частоты , и т.д. В результате можно увидеть, что для достаточно больших значений относительные частоты колеблются около числа и незначительно отличаются от него.

Статистической вероятностью некоторого события А называется число, около которого группируются относительные частоты этого события. При этом при неизменных условиях и неограниченном возрастании числа независимых друг от друга испытаний относительные частоты становятся почти одинаковыми и их отклонения от этого числа незначительны.

При достаточно большом числе независимых друг от друга испытаний в данной серии относительная частота события А может служить приближённой оценкой вероятности этого события, т.е. .

Вероятность некоторого события А по классическому определению вычисляется до опыта, а по статистическому определению вероятность можно найти лишь после опыта.

Теория вероятностей

Предмет теории вероятностей

Случайные события и их классификация

Основными исходными понятиями в теории вероятностей являются понятия испытания (опыта) и события.

Всякое действие, результат которого фиксируется, называется испытанием (опытом). А результат испытания или испытаний называется событием.

Пример 1. Бросание монеты является испытанием. При этом возможны два результата (событии): 1) выпадение «герба»; 2) выпадение «цифры». Если монету бросить два раза подряд, то возможны следующие события: 1) оба раза выпал «герб»; 2) оба раза выпала «цифра»; 3) первый раз выпал «герб», а второй – «цифра»; 4) первый раз выпала «цифра», а второй – «герб».

Все рассматриваемые события можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если при выполнении данного комплекса условий оно обязательно произойдёт.

Пример 2. В урне находятся только белые шары. Извлечём из урны один шар и он будет белым. В этом примере извлечение из урны шара является испытанием, а появление белого шара – событием. То, что шар будет белым, есть событие достоверное.

Событие называется невозможным, если при данном испытании оно не может произойти.

Пример 3. Подбросим камень. Событие, состоящее в том, что камень упадёт на землю, будет достоверным. Событие же, состоящее в том, что камень на землю не упадёт, будет невозможным.

Случайным называется событие, которое при данном испытании может произойти или не произойти.

Пример 4. Стрелок выстрелил по мишени. При этом возможны два события: 1) есть попадание в мишень; 2) нет попадания в мишень. Оба эти события случайные.

Случайные события принято обозначать большими буквами латинского алфавита A, B, C, …; достоверные события – буквой U; невозможные – буквой V.

Случайные события, в свою очередь, можно разделить на совместные, несовместные и единственно возможные.

События называются совместными, если при одном и том же испытании появление одного из них не исключает появление других, т.е. если они могут появиться совместно.

Пример 5. Производится стрельба по цели из двух орудий. Обозначим события:

А = {попадание в цель первого орудия};

B = {попадание в цель второго орудия}.

События А и В будут совместными, так как не исключается возможность попадания в цель из обоих орудий.

События называются несовместными, если при одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого, т.е. если они не могут появиться совместно.

Пример 6. Бросается монета. Обозначим события:

А = {выпадет «герб»};

B = {выпадет «цифра»}.

События А и В будут несовместными.

События называются единственно возможными, если при данном испытании наступит хотя бы одно из них.

Пример 7. В урне содержатся белые, чёрные и красные шары. Из урны извлекается один шар. Обозначим события:

А = {извлечён белый шар};

B = {извлечён чёрный шар};

C = {извлечён красный шар}.

События А, В и С – единственно возможные.

Совокупность единственно возможных и несовместных событий образует полную группу событий.

Пример 8. Бросается игральный кубик, на гранях которого написаны цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6, обозначающие число очков. При бросании кубика на верхней его грани выпадет одна из этих цифр. Обозначим события:

={выпало одно очко};

={выпало два очка};

={выпало три очка};

={выпало четыре очка};

={выпало пять очков};

={выпало шесть очков}.

Эти события единственно возможные и несовместны, т.е. образуют полную группу событий.

Два единственно возможные и несовместные события называются противоположными. Если А – некоторое событие, то ему противоположное обозначается .

Пример 9. Противоположными событиями являются попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение «герба» и выпадение «цифры» при одном бросании монеты.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒