Повторные независимые испытания. Испытания называются независимыми, если при каждом из них событие А наступает с одной

Формула Бернулли

Испытания называются независимыми, если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью , не зависящей от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях. Вероятность появления противоположного события при каждом испытании равна .

Пример 1. Подбрасывается монета n раз. Обозначим событие А={выпадение «герба»}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, произошло или не произошло это событие в других испытаниях.

Пример 2. В урне 2 белых шара и 3 чёрных. Производится n испытаний: из урны наугад извлекается шар. Затем шар возвращается в урну и шары перемешиваются. Обозначим событие А={извлечён белый шар}. Вероятность наступления события А равна и каждый раз она будет одна и та же, т.е. она не зависит от того, произошло или не произошло это событие при других испытаниях. Вероятность противоположного события .

Пример 3. Бросается игральный кубик. Пусть событие A={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна . Вероятность противоположного события {не выпадение трёх очков} равна .

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна р, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле

где q=1-p.

Формула Бернулли удобна в том случае, если число испытаний n не слишком велико.

Пример 4. Прибор состоит из четырёх узлов. Вероятность отказа для каждого узла в течение смены равна 0.2. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что за смену откажут: 1) два узла; 2) не менее трёх узлов; 3) хотя бы один узел.

Решение. По условию задачи p=0.2, q=0.8.

1) По формуле Бернулли вероятность того, что из четырёх узлов прибора за смену откажут два узла, равна .

2) Обозначим событие А={за смену откажут не менее трёх узлов}. Тогда .

3) Обозначим событие B={за смену откажет хотя бы один узел}. Тогда ему противоположное событие {за смену не откажет ни один узел} и .

Локальная теорема Лапласа

По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При малых значениях n вероятность находится по формуле Бернулли и довольно просто. Однако при больших значениях n вычисления становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности целесообразно применять другую формулу.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит k раз при достаточно большом числе n испытаний, находится по формуле , где .

Функция обладает следующими основными свойствами.

Функция определена и непрерывна в интервале .

Функция положительна, т.е. и её график расположен выше оси Ох.

Функция чётная, т.е. = .

Значения функции приведены в таблице. Так как функция чётная, то в таблице приведены значения функции только для положительных значений х.

Пример 5. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0.8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Решение. Воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Обозначим: n=100, k=75, p=0.8, q=0.2. Тогда , , .

Интегральная теорема Лапласа

При решении практических задач может возникнуть вопрос: как найти вероятность того, что при n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью, это событие наступит не менее раз и не более раз? Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом из n независимых испытаниях постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит не менее раз и не более раз при достаточно большом числе испытаний, определяется по формуле

где , .

Функция называется функцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Поэтому для её вычисления пользуются специальными таблицами.

Функция обладает следующими основными свойствами.

Функция возрастает в интервале .

Функция нечётная, т.е = .

Пример 6. По данным проверки качества выпускаемой продукции брак составляет 13%. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции пригодных будет не менее 125 и не более 135.

Решение. Обозначим: n=150, =125, =135, p=0.87, q=0.13. Тогда по интегральной теореме Лапласа , ,

Теорема Пуассона. Простейший поток событий

Приближённая локальная формула Лапласа даёт возможность с небольшой погрешностью найти вероятность даже тогда, когда р близко к нулю или единице при условии, что число испытаний достаточно велико. В противном случае погрешность может оказаться значительной.

При малых значениях вероятности р для нахождения вероятности с небольшой погрешностью справедлива следующая теорема.

Теорема Пуассона. Если в n независимых испытаниях вероятность р наступления события А в каждом из них постоянна и мала, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит k раз, находится по формуле

, где .

Эта формула называется формулой Пуассона. Иногда её называют законом редких событий.

Пример 7. Завод отправил потребителю 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0.0002. Какова вероятность того, что потребитель получит 3 повреждённых изделия?

Решение. По условию n=5000, p=0.0002, k=3. Тогда , .

Пример 8. Вероятность попадания в самолёт при каждом выстреле из пулемёта равна 0.001. производится 3000 выстрелов. Найти вероятность попадания в самолёт: 1) один или два раза; 2) хотя бы один раз.

Решение. По условию n=3000, p=0.001, .

1) Обозначим событие А={попадание в самолёт один или два раза}. Тогда .

2) Обозначим событие В={попадание в самолёт хотя бы один раз}. Тогда .

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают одно за другим в случайные моменты времени.

Например, поток вызовов в сфере обслуживания (ремонт телевизоров, вызовы скорой помощи и др.), поток вызовов на телефонной станции, отказ в работе отдельных частей некоторой системы и т.д.

Поток называется простейшим, если выполняются следующие условия:

вероятность появления события зависит от длины промежутка времени t;

вероятность появления числа событий на любом промежутке времени не зависит от того, какое число событий наступило до начала этого промежутка;

вероятность наступления двух или большего числа событий за достаточно малый промежуток времени мала и чем меньше , тем меньше становится вероятность.

При выполнении этих условий справедливо следующее утверждение:

Вероятность того, что случайное событие за время t наступит k раз, определяется по формуле

где - среднее число событий, наступающих в единицу времени.

Пример 9. На ткацких станках, обслуживаемых ткачихой, в течение часа происходит 90 обрывов нити. Какова вероятность того, что за 4 минуты произойдёт: 1) один обрыв; 2) хотя бы один обрыв.

Решение. По условию t=4. Среднее число обрывов за одну минуту равно . Тогда .

1) . 2) .

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 Следующая ⇒