Случайные величины и законы их распределения

Понятие случайной величины

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг от друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.

Запись означает «вероятность того, что случайная величина Х примет значение, равное 5, равна 0.28».

Пример 1. Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х={число выпавших очков}. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2. При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X={расстояние полёта камня}. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Если известны все возможные значения случайной величины Х и вероятности появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВ Х известен и он может быть записан в виде таблицы:

Х			…		…

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки , , …, и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

x₁

x₂

x₃

x_n

P₃

P₂

P₁

P_n

•

Пример 3. В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X={число сорняков среди четырёх отобранных}. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.

Решение. По условию примера . Тогда:

;

Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:

Х
	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

•

0, 6561

0, 2916

0, 0486

0, 0036

0, 0001

Функция распределения случайной величины и её основные свойства

Закон распределения ДСВ можно задавать в виде таблицы, в которой содержатся возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такой способ задания закона распределения неприемлем для НСВ, так как значения этой случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток и указать в таблице бесконечное множество этих значений невозможно. Поэтому вводится понятие функции распределения вероятностей случайной величины, с помощью которой можно задавать закон распределения как ДСВ, так и НСВ.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, меньшее произвольного числа х, т.е. X< x. Такое событие имеет определённую вероятность P(X< x). Если изменять значение х, то будет меняться и вероятность P(X< x). Тогда эту вероятность можно рассматривать как некоторую функцию F(x) переменной величины х: . Если же для каждого значения известно значение функции F(x), то случайную величину Х можно считать полностью охарактеризованной.

Пусть Х – случайная величина, а х – произвольное действительное число. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем х: или . Функцию распределения называют интегральной функцией распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1], т.е. .

Функция распределения неубывающая, т.е. если , то .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (a, b), равна приращению функции распределения в этом интервале: .

Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a, b), то F(x)=0 при и F(x)=1 при .

Пример 4. Два стрелка производят по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.5, а для второго – 0.4. Обозначим ДСВ Х={число попаданий в мишень}. Требуется найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить график функции F(x).

Решение. Число попаданий в мишень может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина Х может принимать только три значения: 0, 1 или 2. Найдём закон распределения этой случайной величины.

Обозначим события:

A={первый стрелок попал в мишень};

B={второй стрелок попал в мишень};

={первый стрелок промахнулся по мишени};

={второй стрелок промахнулся по мишени};

C={нет попаданий в мишень};

D={есть одно попадание в мишень};

E={есть два попадания в мишень}.

Тогда .

Значению 0 случайной величины Х соответствует событие , вероятность которого равна . Значению 1 случайной величины Х соответствует событие , вероятность которого равна . И, наконец, значению 2 случайной величины Х соответствует событие . Вероятность этого события равна .

Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы и найдём функцию распределения:

Х
	0.3	0.5	0.2

Если , то , так как в интервале не содержится возможных значений Х. Если , то , так как в интервале содержится одно значение случайной величины Х=0. Если , то

, так как в интервале содержатся два значения случайной величины Х=0 и Х=1. Если же , то аналогично

Таким образом, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

Построим график функции распределения:

F(x)

0, 8

0, 3

•

Плотность распределения непрерывной случайной величины и её основные свойства

Пусть - функция распределения НСВ Х. Плотностью распределения вероятностей НСВ Х или просто плотностью распределения называется производная от функции распределения и обозначается , т.е. . Функцию называют дифференциальной функцией распределения.

Пусть есть плотность распределения вероятностей НСВ Х. Тогда справедливо утверждение: вероятность того, что НСВ Х примет значение в интервале (a, b), равна определённому интегралу от плотности распределения вероятностей, взятому в пределах от a до b, т.е. .

Так как по определению , а по предыдущей формуле , то . Таким образом, если известна функция распределения , то плотность распределения равна . Если же известна плотность распределения , то функция распределения находится по формуле .