Сложение и умножение вероятностей

1. Сложение вероятностей несовместных событий

 

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении события А или события В. Суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива следующая теорема:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Эту теорему можно обобщить на любое конечное число несовместных событий:

.

Следствиями этой теоремы являются следующие утверждения:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице: .

Пример 1. В ящике находятся 4 белых, 5 красных, 8 зелёных и 3 синих шара. Шары перемешивают и извлекают один из них. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение. Обозначим события:

A={извлечён цветной шар};

={извлечён белый шар};

={извлечён красный шар};

={извлечён зелёный шар};

={извлечён синий шар}.

.

Пример 2. В урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они окажутся одного цвета?

Решение. Обозначим события:

А={вынуты три шара одного цвета};

B={вынуты три шара белого цвета};

C={вынуты три шара чёрного цвета}.

Пример 3. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Обозначим события:

А={среди вынутых карт хотя бы один туз};

B={среди вынутых карт один туз};

C={среди вынутых карт два туза};

D={среди вынутых карт три туза}.

.

 

2. Умножение вероятностей

 

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном наступлении этих событий: . Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Пример 4. Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

А={первый стрелок попал в цель};

B={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

События называются независимыми в совокупности, если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Справедлива следующая теорема:

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

.

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий:

.

Пример 5. Два орудия стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого орудия равна , а второго - . Из обоих орудий делается одновременно по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение. Обозначим события:

А={первое орудие попало в цель};

В={второе орудие попало в цель};

C={оба орудия попали в цель}.

.

События А и В называются зависимыми, если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет.

Пример 6. В урне находится 3 белых и 2 чёрных шара. Из урны будут извлекаться шары. Обозначим события:

А={извлечён белый шар};

B={извлечён чёрный шар}.

Тогда перед началом извлечения шаров из урны . Предположим, что из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Вероятность извлечения из урны белого шара после наступления события В уже будет другой, равной . Таким образом, событие А зависит от события В, т.е. эти события будут зависимыми.

Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью и обозначается или .

Для зависимых событий справедлива следующая теорема:

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

.

В этой теореме не имеет значения, какое из событий считать первым, а какое – вторым. Поэтому:

.

Пример 7. В урне 5 белых и 2 чёрных шара. Из неё извлекают наугад два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.

Решение. Обозначим события:

А={первым извлечён белый шар};

B={вторым извлечён белый шар}.

События А и В зависимые. Поэтому .

Пример 8. Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.6, для второго – 0.7 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что: 1) произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу; 2) произойдёт хотя бы одно попадание в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение. 1) Обозначим события:

А={произойдут два попадания в цель};

B={первый стрелок попадёт в цель};

C={второй стрелок попадёт в цель};

D={третий стрелок попадёт в цель};

{первый стрелок не попадёт в цель};

{ второй стрелок не попадёт в цель};

{третий стрелок не попадёт в цель}.

.

2) Обозначим событие Е={произойдёт хотя бы одно попадание в цель}. Тогда .

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. МНОГООБРАЗИЕ ОТНОШЕНИЙ МЕЖДУ ТЕЛОСЛОЖЕНИЕМ И ПОВЕДЕНИЕМ
2. Проба 1. Мысленное сложение фигур из частей
3. Среднеарифметическое вероятностей рисков послед. приоритета
4. Схемы выпрямления с умножением напряжения