Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу: дана функция , найти такую функцию , производная которой равна данной функции , то есть = .

Функция называется первообразной данной функции на интервале (a, b) если в любой его точке выполняется равенство = .

Пример 5.1 Дана функция , ее первообразная будет , так как и по определению является первообразной.

Аналогично, так как , то является первообразной для .

Если для данной функции существует первообразная, то она не единственная. В самом деле, для данной функции, например = cosx первообразными являются функции = sinx первообразными являются функции = sinx-2, = sinx +3, и т.д., вообще = sinx + С, где С любое постоянное число.

Теорема. Любые две первообразные и данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Неопределенным интегралом от данной функции называется целое семейство ее первообразных функции, отличающихся друг от друга лишь постоянной величиной, т.е имеющих вид ( постоянная величина).

Например, для функции семейство ее первообразных и есть неопределенный интеграл, т.е. семейство линий (парабол), называемых интегральными кривыми (см. рис. 5.1).

Рис.5.1

Семейство первообразных, т.е. неопределенный интеграл принято обозначить символикой:

, где спереди стоит символ интеграла, а

называется подынтегральной функцией, а

подынтегральным выражением (

означает дифференциал аргумента).

По определению = . (5.1)

Процесс нахождения неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен функции с точностью до постоянного слагаемого:

Дифференцирование и интегрирование функций являются взаимно обратными операциями.

Последовательное применение операций дифференцирования и интегрирования взаимно уничтожают друг друга.

4.Постоянный множитель С можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5.Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых

Неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Он зависит только от вида подынтегральной функции.

6. Если = и имеем дифференцируемую функцию , то

= .

Таблица основных неопределенных интегралов

Ниже приводятся простейшие интегралы, часть которых получается непосредственно из таблицы производных, если прочитать ее справа налево. Другую часть интегралов легко проверить путем дифференцирования правой части.

1) 9)

2) 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Существует справочная литература, где число табличных интегралов насчитывает многие сотни (например, «Таблицы неопределенных интегралов», Бычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П., М.: Физматлит, 2003.)

Существуют и так называемые «неподдающиеся» интегралы, не имеющие первообразной, выраженной через элементарные функции, например,

, , , (функция Лапласа) и др.

Основные методы интегрирования

Процесс интегрирования состоит в умении привести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.

Мы рассмотрим три основных метода:

Непосредственное интегрирование

Метод заключается в применении различных преобразований подынтегральной функции с целью приведения ее к табличным интегралам. Здесь нет специальной теории. Необходимо знать свойства неопределенных интегралов, элементарные преобразования алгебраических или тригонометрических функций и табличные интегралы. Навыки интегрирования, называемые техникой интегрирования, напрямую зависят от количества выполняемых задач. Перейдем к практике интегрирования.

Пример 5.2. Найти неопределенный интеграл:

1) 2) 3)

4) = = .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒