Интегральное исчисление функции одной переменной

Глава 5.

Интегральное исчисление функции одной переменной

Наряду с понятиями производной и дифференциала возникло и тесно связанное с ними понятие интеграла. Понятие интеграла – одно из важнейших в математическом анализе.

Первообразная и неопределенный интеграл

Рассмотрим задачу: дана функция , найти такую функцию , производная которой равна данной функции , то есть = .

Функция называется первообразной данной функции на интервале (a, b) если в любой его точке выполняется равенство = .

Пример 5.1 Дана функция , ее первообразная будет , так как и по определению является первообразной.

Аналогично, так как , то является первообразной для .

Если для данной функции существует первообразная, то она не единственная. В самом деле, для данной функции, например = cosx первообразными являются функции = sinx первообразными являются функции = sinx-2, = sinx +3, и т.д., вообще = sinx + С, где С любое постоянное число.

Теорема. Любые две первообразные и данной функции отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Неопределенным интегралом от данной функции называется целое семейство ее первообразных функции, отличающихся друг от друга лишь постоянной величиной, т.е имеющих вид ( постоянная величина).

Например, для функции семейство ее первообразных и есть неопределенный интеграл, т.е. семейство линий (парабол), называемых интегральными кривыми (см. рис. 5.1).

Рис.5.1

Семейство первообразных, т.е. неопределенный интеграл принято обозначить символикой:

, где спереди стоит символ интеграла, а

называется подынтегральной функцией, а

подынтегральным выражением (

означает дифференциал аргумента).

По определению = . (5.1)

Процесс нахождения неопределенного интеграла данной функции называется интегрированием этой функции.

Свойства неопределенного интеграла

1.Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

3.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен функции с точностью до постоянного слагаемого:

Дифференцирование и интегрирование функций являются взаимно обратными операциями.

Последовательное применение операций дифференцирования и интегрирования взаимно уничтожают друг друга.

4.Постоянный множитель С можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5.Неопределенный интеграл алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых

Неопределенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования. Он зависит только от вида подынтегральной функции.

6. Если = и имеем дифференцируемую функцию , то

= .

Таблица основных неопределенных интегралов

Ниже приводятся простейшие интегралы, часть которых получается непосредственно из таблицы производных, если прочитать ее справа налево. Другую часть интегралов легко проверить путем дифференцирования правой части.

1) 9)

2) 10)

3) 11)

4) 12)

5) 13)

6) 14)

7) 15)

8) 16)

Существует справочная литература, где число табличных интегралов насчитывает многие сотни (например, «Таблицы неопределенных интегралов», Бычков Ю.А., Маричев О.И., Прудников А.П., М.: Физматлит, 2003.)

Существуют и так называемые «неподдающиеся» интегралы, не имеющие первообразной, выраженной через элементарные функции, например,

, , , (функция Лапласа) и др.

Основные методы интегрирования

Процесс интегрирования состоит в умении привести интеграл от данной функции к одному или нескольким табличным интегралам с использованием математических преобразований и свойств неопределенного интеграла.

Мы рассмотрим три основных метода:

Определенный интеграл

Определенный интеграл связан с непосредственным приложением интегрального исчисления к решению прикладных задач. Введем понятие определенного интеграла и познакомимся с его свойствами и методами вычисления.

Формулы прямоугольников

Заменим площадь каждой частичной криволинейной трапеции площадью прямоугольника с основанием и высотой, равной его левой ординате.

Тогда приближенное значение площади фигуры выразится суммой

Иначе говоря, получим формулу приближенного интегрирования

(3.35)

Если же в качестве высот прямоугольников возьмем их правые ординаты, то площадь фигуры выразится суммой

что дает аналогичную формулу

(3.36)

Формулы (3.35) и (3.36) называются формулами правых и левых прямоугольников. Иногда используетсяформула средних прямоугольников:

Также существуют аналогичные формулы: формула трапеций, формула парабол (формула Симпсона).

Некоторые экономические приложения определенных интегралов.

Пример. Пусть эмпирическим путем было установлено, что производительность труда р в течение рабочего дня меняется по закону:

, где постоянная величина, зависящая от вида продукции и имеющая размерность «единица продукции за единицу времени» (например, шт/мин., кг/час и т.п.).

Найти дневную выработку за 8 час. рабочего дня.

Решение. Дневная выработка есть определенный интеграл от производительности труда за данный промежуток времени:

= = =38, 4

Итак, дневная выработка за 8 час. рабочего дня составила 38, 4С единиц.

Вопросы для самопроверки

Упражнения и задачи

Глава 5.

Интегральное исчисление функции одной переменной

12 3 Следующая ⇒