Вычисление объемов тел вращения

Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 3.24.), ограниченной кривой , осью и прямыми В этом случае любое сечение полученного тела плоскостью, перпендикулярной оси , есть круг радиуса , площадь которого равна .

а

в

А

В

x

Рис.3.24

Составим интегральную сумму. Разобьем отрезок произвольно на частей. Возьмем частичный отрезок , выберем на нем произвольную точку . В точках и восставим перпендикуляры и построим элементарный прямоугольник высотою с основанием . В результате вращения этого прямоугольника вокруг оси получится элементарное цилиндрическое тело, радиус которого , а высота . Объем такого цилиндрического тела равен , а сумма всех элементарных цилиндрических тел дает интегральную сумму

а

в

x

А

В

с

А

y

Рис.3.25

Последовательность интегральных сумм для непрерывной на отрезке функции при и имеет предел. Его и называют объемом тела вращения вокруг координатной оси , то есть

, или

(3.31)

Аналогично, объем тела вращения вокруг оси следует вычислить по формуле

 

или (3.32)

Если вокруг оси вращается фигура, ограниченная двумя кривыми и , причем < на отрезке , то

(3.33)

а

-а

в

А

В

F

D

x

y

Рис.3.26

Аналогично для фигуры, вращающейся вокруг оси

(3.34)

Пример 3.43. Найти объем тора, образованного вращением круга вокруг оси . Предполагается, что .

Решение. Круг радиуса с центром в точке с координатами будем рассматривать как фигуру, ограниченную дугами двух полуокружностей:

верхней (дуга ADB, рис. 3.26)

и нижней (дуга AFB).

По формуле (3.33) получим

Употреблена подстановка Новые пределы интегрирования такие: при при .

 

Определенные интегралы применяются также при вычислении центра тяжести плоских фигур, инерционных моментов вращающихся тел и др.

 

 

Приближенное вычисление определенных интегралов

Мы уже знаем, что первообразные некоторых функций не могут быть выражены в конечном виде через элементарные функции. Вычисление определенных интегралов от таких функций возможно с помощью приближенных методов, которые целесообразно применять и в случаях интегрируемости функции в конечном виде, когда отыскание первообразной требует сложных выкладок.

Формулы приближенного вычисления определенного интеграла связаны с геометрическим решением задачи о нахождении площади криволинейной трапеции.

…

…

x

y

A

B

Рис.3.27

Пусть требуется найти приближенное значение определенного интеграла . Рассмотрим площадь криволинейной трапеции (рис. 3.27) как геометрическое представление заданного интеграла и будем искать способы приближенного вычисления этой площади.

Разделим отрезок и на равных частей точками . Расстояние между каждой парой соседних точек

Из точек деления отрезка восставим перпендикуляры к оси до пересечения с графиком функции . Это будут ординаты соответствующих точек деления:

Площадь криволинейной трапеции можно рассматривать как сумму площадей частичных криволинейных трапеций, на которые разделена фигура: .

Формулы прямоугольников

Заменим площадь каждой частичной криволинейной трапеции площадью прямоугольника с основанием и высотой, равной его левой ординате.

Тогда приближенное значение площади фигуры выразится суммой

Иначе говоря, получим формулу приближенного интегрирования

(3.35)

Если же в качестве высот прямоугольников возьмем их правые ординаты, то площадь фигуры выразится суммой

что дает аналогичную формулу

(3.36)

Формулы (3.35) и (3.36) называются формулами правых и левых прямоугольников. Иногда используетсяформула средних прямоугольников:

.

 

Также существуют аналогичные формулы: формула трапеций, формула парабол (формула Симпсона).

Некоторые экономические приложения определенных интегралов.

Пример. Пусть эмпирическим путем было установлено, что производительность труда р в течение рабочего дня меняется по закону:

, где постоянная величина, зависящая от вида продукции и имеющая размерность «единица продукции за единицу времени» (например, шт/мин., кг/час и т.п.).

Найти дневную выработку за 8 час. рабочего дня.

Решение. Дневная выработка есть определенный интеграл от производительности труда за данный промежуток времени:

= = =38, 4

Итак, дневная выработка за 8 час. рабочего дня составила 38, 4С единиц.

 

 

Вопросы для самопроверки

 

 

Упражнения и задачи

 

⇐ Предыдущая123

Поделиться:

Популярное:

1. Any и его производные имеют другое значение в утвердительном предложении.
2. E) Воспитание сознательного отношения, склонности к труду как основной жизненной потребности путем включения личности в активную трудовую деятельность.
3. E) Способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся, при помощи которого достигается усвоение знаний, умений и навыков, развитие познавательных процессов, личных качеств учащихся.
4. E)Городская телефонная связь
5. Gerund переводится на русский язык существительным, деепричастием, инфинитивом или целым предложением.
6. I Паспорт комплекта контрольно-измерительных материалов
7. I. 1. Трудности в понимании аристотелевского катарсиса.
8. I. Архитектурно-строительная часть проекта
9. I. БЕСПАРТИЙНЫЕ ИНТЕЛЛИГЕНТЫ ПРОТИВ МАРКСИЗМА
10. I. Переведите письменно существительные (1-10).
11. I. Поставьте предложения в отрицательную форму (Present Indefinite Tense).
12. I. СУЩНОСТЬ И ЦЕЛИ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ФИРМЫ