Линейная регрессионная модель.

Уравнение линейной регрессионной модели в общем виде представляется равенством

, . Где:

· х_t – неслучайная величина, независимая переменная, фактор-признак;

· - случайная величина, зависимая переменная, признак-результат;

· - случайная величина.

 

· Интервальный прогноз среднего значения по уравнению регрессии.

Доверительный интервал для М(Y/X=x_р) имеет вид:

· Интервальный прогноз индивидуальных значений зависимой переменной. Интервал

определяет границы, за пределами которых могут оказаться не более 100α % точек наблюдений при Х=х_р. Данный доверительный интервал шире доверительного интервала для условного математического ожидания.

 

Парная линейная регрессионная модель: точечный прогноз и его несмещенность.

Точечный прогноз по уравнению регрессии.

Если известно значение независимой переменной х_р, то прогноз зависимой переменной осуществляется подстановкой этого значения в полученное эмпирическое уравнение регрессии .

Показателем точности прогноза служит его дисперсия (чем она меньше, тем точнее прогноз):

Подставив вместо её несмещённую оценку , получим выборочную исправленную дисперсию рассматриваемой случайной величины.

Очевидно, что чем больше объем выборки, тем точнее прогноз. При фиксированном объёме выборки прогноз тем точнее, чем больше вариация выборочных данных и чем ближе значение независимой переменной х_р к среднему выборочному значению.

 

Парная линейная регрессионная модель: интервальный прогноз для ожидаемого значения зависимой переменной.

Будем считать, что при в соответствии с зависимостью (1), имеет место равенство: и для выполняются основные гипотезы линейной регрессии:

1) ;

2) ;

3) при – некоррелированность ошибок для разных наблюдений (отсутствие автокорреляции ошибок).

В силу гипотезы (1)

Прогнозное значение находится в соответствии с формулой

. (60)

В силу (58), (60), прогнозное значение является несмещенной оценкой величины .

Для получения доверительных интервалов ниже будем считать, что условное распределение случайной величины нормально (при фиксированных значениях случайных величин и ).

(61)

Итак,

(63)

Несмещенная оценка для :

. (64)

При уровне значимости :

, (67)

где – двусторонняя квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .

Из (67) имеем:

(68)

Это соотношения определяет доверительный интервал для ожидаемого значения :

, (69)

в который с вероятностью попадает .

 

 

Парная линейная регрессионная модель: интервальный прогноз для зависимой переменной.

Будем считать, что значение не известно.

(70)

(71)

Следовательно,

(72)

является несмещенной оценкой для .

Обозначим:

(73)

В условиях нашего примера:

Можно показать, что величина

(74)

имеет распределение Стъюдента с числом степеней свободы .

Следовательно, при уровне значимости :

, (75)

где – двусторонняя квантиль распределения Стъюдента для уровня значимости и числа степеней свободы .

Из (75) в имеем:

(76)

Это соотношения определяет доверительный интервал для значения :

, (77)

в который с вероятностью попадает .

 

 

63 (16.). Множественная линейная регрессионная модель: спецификация модели с матричном виде, преобразование модели со свободным членом к модели без свободного члена.

Спецификация модели

, , (1)

– объясняющие (независимые) переменные, – объясняемая (зависимая) переменная, – случайное отклонение, – коэффициенты регрессии.

Отметим, что и – случайные величины, может быть как случайной, так и неслучайной (детерминированной) величиной.

Обозначим:

, , ,

С помощью этих обозначений запишем уравнения регрессии (1) в матричном виде:

(5)

 

 

 

Множественная регрессионная модель: осн гипотезы в матр виде.

Основные гипотезы

1) Спецификация модели

, , где – объясняющие (независимые) переменные, -объясняемая (зависимая) переменная, – случайное отклонение, – коэффициенты регрессии.

2)

3) , где – матрица размером

Дополнительная гипотеза:

4) – (условно) нормально распределенная случайная величина

Тогда:

В этом случае модель называется нормальной линейной регрессионной.

 

 

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V2: Линейная модель множественной регрессии
2. Каким образом определяется линейная система управления
3. Линейная модель множественной регрессии
4. Линейная модель парной регрессии и корреляции
5. Линейная производственная функция
6. Линейная структура организации маркетинга на предприятии.
7. Линейные операции над векторами, линейная зависимость и независимость векторов
8. Множественная линейная регрессия с ограничениями на параметры
9. Обычный метод наименьших квадратов (линейная регрессия)
10. Обычный метод наименьших квадратов(линейная регрессия)
11. Организационная, функциональная, линейная и др. организационные структуры предприятия.