Оценивание параметров структурной модели

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 20Следующая ⇒

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены различными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений. Наибольшее распространение получили следующие методы:

• метод инструментальных переменных (ИП);

• косвенный метод наименьших квадратов (КМНК);

• двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Методы оценивания структурных уравнений различных видов

Точная идентифицируемость

Допустим, требуется оценить параметры уравнения функции потребления в простой модели Кейнса формирования доходов:

(3)

где — объем потребления, совокупный доход и инвестиции соответственно, а — случайный член.

Структурный коэффициент характеризует предельную склонность к потреблению.

В исходной модели — эндогенные переменные, а — экзогенная. Непосредственное оценивание параметров ( ) в структурном уравнении функции потребления дает смещенные и несостоятельные оценки, так как объясняющая переменная является эндогенной.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему:

(4)

В приведенной системе коэффициенты при переменной равные и — это инвестиционные мультипликаторы потребления и дохода соответственно. Это значит, что если объем инвестиций возрастет на единицу, то объем потребления увеличится на , а совокупный доход — на .

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов .

Косвенный метод наименьших квадратов. Уравнение для в приведенной форме можно также представить в виде:

(5)

где (6)

В этом уравнении экзогенная переменная некоррелирована со случайным членом поэтому для оценки параметров ( ') можно использовать обычный МНК.

Замечание. Для удобства рассмотрения оценку параметра и сам параметр будем в дальнейшем обозначать одним символом (параметром).

Оцененное уравнение (5), полученное по выборочным данным с помощью МНК,

дает несмещенные и состоятельные оценки параметров.

Из выражения (6) получаем оценки структурных коэффициентов:

(7)

Поскольку получены единственные оценки структурных коэффициентов через оценки ( ) приведенных коэффициентов, то структурное уравнение функции потребления является однозначно определенным (точно идентифицируемым).

Метод инструментальных переменных. Проблема коррелированности объясняющей переменной Y, со случайным членом в структурном уравнении (3) для может быть разрешена с помощью метода ИП.

Для применения метода ИП необходимо найти такую инструментальную переменную, которая обладает следующими свойствами:

1) коррелирует с неудачно объясняющей переменной ;

2) не коррелирует со случайным членом .

В данном случае модель сама предоставляет такую переменную. Величина коррелирует с , поскольку зависит от в уравнении (4), и не коррелирует с поскольку является экзогенной переменной.

Оценка с помощью инструментальной переменной определяется как

Полученная оценка эквивалентна , — оценке с помощью КМНК. Действительно, из соотношения (7) и учитывая, что рассчитывается как соv(I, C)/var(I), получим

посколькусоv(I, Y) = соv(I, I+ С) = var(I) + cov(I, С).

В общем случае, когда оценка, полученная косвенным методом, единственна, она совпадает с оценкой, полученной методом ИП, т.е. КМНК можно рассматривать как частный случай метода ИП.

Пример 1. Для некоторой страны имеются данные о совокупном доходе Y, объеме потребления С и инвестициях I, полученные за 10 лет (усл. ед.):

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса

формирования доходов (3).

Непосредственное оценивание структурного уравнения функции потребления обычным МНК приводит к следующим результатам:

= 60, 9 + 0, 635Y,

т.е. оценки = 60, 9, = 0, 635.

Было показано, что исходная модель (3) точно идентифицируема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем КМНК.

Оценка для С в приведенной форме

= 188 + 0, 695I,

т.е. =188, = 0, 695.

Из выражения (7) получим оценки структурных коэффициентов:

= 188/(1 +0, 695) = 110, 9, = 0, 695/(1 + 0, 695) = 0, 41,

т.е. = 110, 9 + 0, 41Y.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления,

полученные КМНК, являются несмещенными и состоятельными.

Сверхидентифицируемость

Рассмотрим следующую простую модель Кейнса формирования доходов:

(8)

где — объем потребления, совокупный доход, инвестиции и государственные расходы соответственно, а — случайный член.

В исходной модели — эндогенные переменные, а — экзогенные.

Разрешая структурную систему относительно эндогенных переменных, получим приведенную систему

(9)

Рассмотрим различные методы оценивания структурных коэффициентов ( ).

Метод инструментальных переменных. В структурном уравнении функции потребления в качестве инструментальных переменных для можно использовать как так и . Полученные при этом оценки ( ) будут различаться, но в обоих случаях они состоятельны.

Наилучшее решение в данном случае — применение инструментальной переменной, которая является комбинацией и .

Структурное уравнение с избыточным числом экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные, является переопределенным (сверхидентифицируемым).

Двухшаговый метод наименьших квадратов. Двухшаговый МНК можно рассматривать как частный случай инструментальных переменных. В методе ИП было показано, что структурное уравнение функции потребления оказалось переопределенным и сразу две переменные и можно использовать для .

Однако вместо их раздельного применения можно предложить их комбинацию В этом случае требуется оценить значения коэффициентов .

Фактически вместо можно использовать оценку приведенного уравнения , т.е. .

Подставляя теоретические значения вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления, получим уравнение ,

которое оценивается обычным МНК. При этом оценки структурных коэффициентов будут состоятельными.

Двухшаговый МНК можно рассматривать как способ конструирования наилучшей из возможных комбинаций инструментальных переменных, если в уравнении имеется избыток экзогенных переменных, которые можно использовать как инструментальные.

Пример 2. Д ля некоторой страны имеются данные о совокупном доходе Y, объёме потребления С, инвестициях I и государственных расходах G, полученные за 10 лет (усл. ед.):

Построим функцию потребления, используя модель Кейнса формирования доходов (8).

= 109, 8 + 0, 4Y,

т.е. оценки = 109, 8, = 0, 4.

Было показано, что исходная модель (8) сверхидентифицируема, поэтому для оценки ее структурных коэффициентов используем ДМНК.

Расчетные значения эндогенной переменной Y, полученные МНК:

= 201, 7 + 1, 29I +1, 14G.

Подставим расчетные значения вместо фактических значений в структурное уравнение функции потребления и оценим полученное уравнение МНК:

= 171, 3 + 0, 156Y, т.е. оценки = 171, 3, = 0, 156.

Оценки структурных коэффициентов функции потребления, полученные ДМНК, являются состоятельными.

Неидентифицируемость

Рассмотрим следующую модель спроса и предложения:

где P- цена товара, и - случайные члены.

Переменные Y, Р являются эндогенными, и их значения определяются в процессе установления равновесия.

В рассматриваемой модели нет экзогенных переменных, поэтому ни одно из этих уравнений не является идентифицируемым. Чтобы модель имела статистическое решение, в нее вводятся экзогенные переменные.

Предположим, что продавцы товара облагаются специальным налогом Т, который они должны платить с выручки. При этом уравнение спроса останется неизменным, если переменная Р означает рыночную цену, а уравнение предложения изменится:

(10)

где T – экзогенная переменная.

Уравнение спроса будет идентифицируемым, поскольку переменная Т не включена в него и может выступать как инструментальная для Р, а уравнение предложения — неидентифицируемым.

Включим в уравнение спроса экзогенную переменную х — доход на душу населения:

(11)Экзогенную переменную х можно использовать как инструментальную вместо Р для уравнения предложения.

В итоге получили в целом точно идентифицируемую модель спроса и предложения.

Пусть структурное уравнение спроса имеет временной тренд (скажем, потому что привычки медленно меняются со временем):

(12)

где t — переменная времени, а — коэффициент при ней.

В модели спроса имеются две экзогенные переменные x, t, которые можно использовать в качестве инструментальных для P в уравнении предложения.

В итоге получили сверхидентифицируемое уравнение предложения и точно идентифицируемое уравнение спроса.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒