Выбор формы уравнения регрессии

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 20Следующая ⇒

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии: линейные, нелинейные, сводящиеся к линейным, и нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные). В первых двух случаях для оценки параметров модели применяются методы классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.

Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и

степенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид

(3.17)

Параметры при факторах называются коэффициентами «чистой» регрессии.

Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость спроса на товар ( ) от цены (P)

и дохода (I) характеризуется следующим уравнением:

Qd = 2, 5 -0, 12P + 0, 23 I.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0, 12 единиц измерения спроса, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0, 23 единицы.

Параметр в (3.4) не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид

(3.18)

Параметры (степени факторов ) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на 1 % при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.

Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капитала K и труда L говорит о том, что увеличение затрат капитала K на 1 % при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0, 23 %. Увеличение затрат труда L на 1 % при неизменных затратах капитала K вызывает увеличение выпуска продукции Y на 0, 81 %.

Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов каждого фактора (сумма эластичностей) э = . Эта величина дает обобщенную характеристику эластичности производства.

Если значение э> 1, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Значение э= 1 говорит о постоянном масштабе производства. Если значение э< 1, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

Оценка параметров уравнения линейной

Множественной регрессии

Рассмотрим уравнение линейной множественной регрессии

(3.19)

Применяя метод наименьших квадратов (МНК) получим следующую систему уравнений:

(3.20)

Решение системы (3.10) удобно записать с помощью матричных обозначеий. Обозначим

(3.21)

где A -матрица-столбец из (p+1) коэффициентов ;

Y –матрица - столбец из n исходных значений зависимой переменной y;

X -матрица ((p+1)× n) исходных значений независимых переменных , в которой первый столбец из единиц можно рассматривать как значения «фиктивной» переменной, соответствующей коэффициенту .

В этих обозначениях система (3.7) примет вид

(3.22)

где -транспонированная матрица X. Матрица является неособенной квадратной размерности (p+1× p+1) при условии, что столбцы матрицы X линейно независимы.

Решение системы (3.7) определяется соотношением

. (3.23)

Независимые переменные имеют различный экономический смысл, разные единицы измерения и масштаб. Если нужно определить степень относительного влияния отдельных факторов на изменение результативной переменной y, то переменные следует привести к сопоставимому виду. Это можно осуществить, вводя, так называемые, «стандартизованные» переменные с помощью соотношений:

(3.25)

где - средние значения, средние квадратические отклонения переменных y и .

Стандартизованные переменные обладают следующими свойствами:

1) средние значения равны нулю

2) средние квадратические отклонения равны единице

Уравнения множественной регрессии в стандартизованных переменных принимают вид:

(3.26)

Величины называются стандартизованными коэффициентами. Их связь с коэффициентами множественной регрессии задается соотношениями

. (3.27)

Параметр уравнения (3.6) можно определить из соотношения

.... (3.28)

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на одну сигму при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Система нормальных уравнений МНК (3.10) в стандартизованных переменных принимает вид:

(3.29)

Стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента .

Отметим, что в случае парной линейной регрессии стандартизованный коэффициент регрессии β совпадает с линейным коэффициентом корреляции .

Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных.

В случае внутренне нелинейных зависимостей (которые невозможно привести к линейному виду) для оценки параметров по методу наименьших квадратов приходится применять методы нелинейной оптимизации.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒