Прямая на плоскости, кривые второго порядка

Общее уравнение прямой: ,

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

угол α – угол наклона прямой (угол отсчитываемый от положительного направления оси Ох до прямой против хода часовой стрелки), число b определяет величину отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу.

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k, которая проходит через точку :

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки :

Параметрическое уравнение прямой: , где – направляющий вектор прямой, а точка лежит на прямой.

Каноническое уравнение прямой:

Уравнение прямой в отрезках:

, где числа a и b определяют величины отрезков, отсекаемых на осях Ох и Оу соответственно.

Угол φ между прямыми находится из соотношений:

Если прямые заданы общими уравнениями и ;

если прямые заданы уравнениями .

Расстояние d от точки до прямой, заданной общим уравнением, вычисляется по формуле:

Определение: Линии, определяемые уравнениями второй степени относительно текущих координат х и у Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Еу + F =0 называют кривыми второго порядка (окружность, эллипс, гипербола, парабола).

Определение: Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

(х — а)² + (у — в)² = R² - уравнение окружности, где R - радиус окружности, а точка М(а; в) - центр окружности.

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости постоянна и больше расстояния между этими точками. Данные точки называются фокусами эллипса. А расстояние между ними – фокальным расстоянием. F₁(c; 0); F₂(-c; 0).

каноническое уравнение эллипса – , где .

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2ск большей оси 2а.

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками. Данные точки - фокусы гиперболы, а расстояние между ними – фокальное расстояние.

F₁(c; 0); F₂(-c; 0).

– каноническое уравнение гиперболы. .

А( а; 0) - вершины гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной оси.

Уравнения – есть уравнения асимптот гиперболы.

Параболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку. Данная точка – фокус параболы, данная прямая называется директрисой.

– каноническое уравнение параболы симметричной относительно оси ОХ, где р – фокальный параметр параболы.

– фокус параболы.

– уравнение директрисы параболы.

ПРИМЕР:

Написать уравнение окружности с центром в точке С(-1; -1), касающейся прямой, если А(2; -1); В(-1; 3).

Решение: Напишем уравнение прямой АВ:

или ,

т.к. окружность касается данной прямой, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой. Для отыскания R необходимо найти расстояние от точки С(-1; -1) до прямой.

, .(Условие перпендикулярности прямых )

. Тогда , С(-1; -1) удовлетворяет этому уравнению

. Найдем точку пересечения прямых и ; точка .

Найдем расстояние

Напишем уравнение искомой окружности (х + 1) ² + (у +1)² =

ПРИМЕР: Написать уравнение эллипса, проходящего через точку М (5; 0), если фокальное расстояние равно 6. Найти эксцентриситет эллипса.

Решение: т.к. F₁F₂= 6, то с= 3;

, так как точка М (5; 0) принадлежит эллипсу, то ^;; ; ; .

Ответ: ; .

ПРИМЕР:

Дана парабола . Найти координаты ее фокуса и составить уравнение директрисы:

Парабола симметрична относительно оси ОУ, ветви направлены вверх.

Фокус имеет координаты F(0; 2), а уравнение директрисы будет или .

Ответ: F(0; 2); у + 2 = 0.

Исследование функций

Общая схема исследования функции

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Исследовать функцию на четность, нечетность и периодичность.

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Определить точки разрыва (если они существуют) и асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и вогнутости.

7. Используя полученные сведения, построить график функции.

ПРИМЕР. Исследовать функцию и построить ее график.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

Найдем точки пересечения с осью ОХ.

С осью ОУ, точек пересечения нет, т.к. при х = 0 функция не существует.

Функция имеет точку разрыва значит, (ось ОУ) – вертикальная асимптота.

Найдем наклонную асимптоту:

Уравнение наклонной асимптоты .

Найдем критические точки и промежутки возрастания и убывания функции.

; ; ;

; - критическая точка, т.к. она является точкой разрыва.

Эти точки разбивают область определения на промежутки.

Составим таблицу

		(0; 2)
+	не сущ.	–		+
+	не сущ.	+		+
	не сущ.
			min

Исследуем знак производной на этих интервалах.

; ;

– точка минимума.

Найдем точки перегиба

; ; т.к. не имеет решений.

при любых х, значит, график функции всюду вогнут. Следовательно, точек перегиба нет.

Используя полученные данные, строим искомый график.

12 3 Следующая ⇒