Применение определённого интеграла

Вычисление площади плоских фигур.

Определенный интеграл широко применяется при вычислениях геометрических и физических величин.

Для вычисления площадей плоских фигур используются следующие формулы:

если

2. Вычисление объемов тел вращения.

Если криволинейная трапеция, ограниченная линией и прямыми , вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

Если фигура, ограниченная линиями и и прямыми , вращается вокруг оси ОХ, то объем тела вращения вычисляется по формуле:

3. Вычисление длины дуги. Вычисление площади поверхности вращения.

– формула для вычисления длины дуги

– формула для вычисления площади поверхности вращения.

Приложение определенного интеграла к решению физических задач

а) Путь, пройденный точкой;

Если точка движется прямолинейно и ее скорость есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени , вычисляется по формуле

б) Работа переменной силы;

Если переменная сила F = F (x) действует в направлении осиОХ, то работа силы на отрезке вычисляется по формуле

в) Сила давления жидкости;

Согласно закону Паскаля величина силы Р давлении жидкости на горизонтальную площадку вычисляется по формуле . Если площадка погружена в жидкость не горизонтально, то давление жидкости изменяется с глубиной и вычисляется по формуле:

где – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения

ПРИМЕР: Вычислить площадь S, заключенную между линиями

Решение. Для нахождения точек пересечения данных линий решим систему:

, после преобразования найдем пределы интегрирования:

Ответ: кв. ед.

ПРИМЕР: Треугольная пластинка с основанием 0, 3 м и высотой 0, 6 м погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления на пластинку.

Выделим на глубине h тонную полоску и найдем ее длину КМ=f(h), т.к. АВС ~ КВМ, то КМ: АС = ВЕ: ВД, КМ : 0, 3 = h: 0, 6, КМ = . Так как вершина пластинки лежит на поверхности воды, то Н₁ = 0, Н₂ = 0, 6, g=9, 8м/с²и =1000кг/м³, тогда

(Н)

Ответ: 353 Н

ПРИМЕР: Производитель реализует новый товар, отсутствовавший ранее на рынке. Зависимость цены единицы товара Р от объёма реализации Q выражается соотношением .

Изучение рынка показало, что равновесие спроса и предложения будет достигнуто при продаже Q =1000000 ед. товара. С целью получения максимальной прибыли производитель реализует товар на рынке небольшими партиями, объём которых значительно меньше предлагаемого спроса, с постепенным понижением цены до равновесной. Требуется определить:

а) доход, получаемый производителем при продаже 1000000 ед. товара мелкими партиями;

б) доход при продаже 1000000 ед. товара по равновесной цене;

в) размер дополнительного дохода производителя R_d.

Решение:

Определим равновесную цену товара:

.Подсчитаем доход, получаемый производителем при реализации товара мелкими партиями с постепенным снижением цены до равновесной:

Ответ: 62500000 у.е.

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:

, для решения этого уравнения нужно сначала

разделить переменные: , а затем проинтегрировать обе части полученного

равенства:

2.Уравнение, содержащее производные не выше второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка.

- не полное дифференциальное уравнение второго порядка.

ПРИМЕР: Найти общие решение уравнения

ПРИМЕР: Найти закон движения тела по оси ОХ, если оно начало двигаться из точки М(4; 0) со скоростью

Решение:

Найдем с

- закон движения тела.

ПРИМЕ: Найти решение уравнения

, тогда ,

, ,

;

ПРИМЕР: Спрос на товар определяется соотношением , а предложение изменяется по закону , где Р – цена товара, t – время в неделях. Требуется определить, по какому закону меняется равновесная цена этого товара, если в начальный момент времени она составляла 21 у.е.

Решение: При равенстве спроса и предложения (D = S) имеем: = ,

. Проинтегрируем, получим . Значение постоянной С определим из начального условия : , С = 1, тогда закон изменения равновесной цены примет вид: .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒