Элементы теории вероятности и математической статистики

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, будем понимать всякое событие, которое либо происходит, либо не происходит при осуществлении этого опыта.

Событие, всегда осуществляющееся при проведении опыта, называют достоверным (U), а событие, которое заведомо не может произойти в результате опыта, – невозможным (V).

Для каждого события можно рассматривать противоположное событие , которое заключается в том, что событие А не произошло. Вероятностьюсобытия А называется отношение числа исходов события А к числу всех исходов.

Число размещений из элементов по определяется по формуле:

( 0! = 1)

Число перестановок из элементов определяется по формуле:

Число сочетаний из элементов по определяется по формуле:

Сложение и умножение вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Вероятность суммы двух произвольных событий А и В определяется по формуле:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого.

Случайной величиной называют величину, которая в результате испытания может принимать с определённой вероятностью разные значения. Функция, ставящая в соответствие каждому значению случайной величины вероятность, с которой величина принимает это значение, называется законом распределения.

Важнейшими характеристиками случайной величины являются её математическое ожидание М(Х) и дисперсия в D(X). Для дискретной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:

,

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот . Оно задаётся таблице следующего вида:

х_i	x₁	x₂	x₃	x₄
n_i	n₁	n₂	n₃	n₄
w_i	w₁	w₂	w₃	w₄

Выборочная средняя находится по формуле:

или , а генеральная средняя – по формуле:

или , где n – объём выборки, а N – объём генеральной совокупности.

Зависимость между двумя случайными величинами называют статистической, если при изменении одной из величин изменяется закон распределения другой величины.

Статистическая зависимость, у которой при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой величины, называется корреляционной.

Уравнение называется уравнением регрессии У по Х; называется регрессией У на Х, а её график – линией регрессии У на Х.

ПРИМЕР: В ящике разложены 20 деталей, причем 5 из них, стандартные. Рабочий берет наудачу три детали. Найти вероятность того, что по крайней мере одна из взятых деталей окажется стандартной. (событие А).

Решение: Событие А и (ни одна из взятых деталей не оказалась стандартной) являются противоположными; поэтому

Ответ: 0, 601

ПРИМЕР: В одной урне находится 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Пусть А – появление белого шара из первой урны, а В – появление белого шара из второй урны. Очевидно, что события А и В независимы.

Найдем

Ответ:

ПРИМЕР: Было установлено, что при ремонте автомобильных двигателей деталь №1 заменялась в 45 % случаев, деталь № 2 – в 40 %, а обе эти детали – в 35 %. Найти вероятность того, что при ремонте двигателя деталь № 2 будет заменена, при условии, что деталь № 1 заменена.

Решение: Пусть событие А заменена деталь № 2, событие В – заменена деталь № 1

Ответ:

ПРИМЕР: Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, зная закон её распределения.

Х	-1
р	0, 25	0, 05	0, 19	0, 51

. Ответ: 0, 9 и 5, 8

Задания для контрольной работы

Задание 1. По данным уравнениям построить прямые. Найти угловой коэффициент прямой а) и отрезки, отсекаемые ею на осях координат; расстояние от точки М(х; у) до этой прямой. Записать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых а), б) и точку N (x; y). Найти угол между прямыми в) и г).

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Задание 2.Продифференцировать данные функции; для случая а) найти вторую производную.

51. а) б)

52. а) б)

53. а) б)

54. а) б)

55. а) б)

56. а) б)

57. а) б)

58. а) б)

59. а) б)

60. а) б)

61. а) б)

62. а) б)

63. а) б)

64. а) б)

65. а) б)

66. а) б)

67. а) б)

68. а) б)

69. а) б)

70. а) б)

71. а) б)

72. а) б)

73. а) б)

74. а) б)

75. а) б)

76. а) б)

77. а) б)

78. а) б)

79. а) б)

80. а) б)

81. а) б)

82. а) б)

83. а) б)

84. а) б)

85. а) б)

86. а) б)

87. а) б)

88. а) б)

89. а) б)

90. а) б)

91. а) б)

92. а) б)

93. а) б)

94. а) б)

95. а) б)

96. а) б)

97. а) б)

98. а) б)

99. а) б)

100. а) б)

Задание 3. Найти пределы функций.

101. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

102. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

103. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

104. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

105. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

106. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

107. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

108. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

109. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

110. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

111. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

112. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

113. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

114. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

115. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

116. а) б)в)г) д) .

117. а) б) в)г) д) .

118. а) б) в) г) д)

119. а) б) в) г) д)

120. а) б) в) г) д) .

121. а) б) в) г) д) .

122. а) б)в) г) д) .

123. а) б) в) г) д) .

124. а) б) в) г) д) .

125. а) б) в) г) д) .

126. а) б) в) г) д) .

127. а) б) в) г) д) .

128. а) б) в) г) д) .

129. а) б) в) г) д) .

130. а) б) в) г)

д) .

131. а) б) в) г) д) .

132. а) б) в) г) д) .

133. а) б) в) г) д) .

134. а) б) в) г) д) .

135. а) б) в) г) д) .

136. а) б) в) г) д) .

137. а) б) в) г) д) .

138. а) б) в) г) д) .

139. а) б) в) г) д) .

140. а) б)в) г) д) .

141. а) б) в) г) д) .

142. а) б) в) г) д) .

143. а) б) в) г) д) .

144. а) б) в) г) д) .

145. а) б) в) г) д) .

146. а) б) в) г) д) .

147. а) б) в) г) д) .

148. а) б) в) г) д) .

149. а) б) в) г) д) .

150. а) б) в) г) д) .

Задание 4. Даны матрицы А, В, С, D, М. Вычислить, если это возможно, матрицы МА, АС, АВ+ВА, DA, AD, СA; определитель матрицы А и обратную к ней матрицу. Найти ранг матрицы С.

151. А = ; В = ; D = ; С = ;