Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм



Пусть f – функция алгебры логики.

1. Строим все МДНФ функции f.

2. Строим все МКНФ функции f.

3. Из построенных минимальных форм выбираем простейшие ( по числу букв).

Пример 6. В классе нормальных форм минимизировать функцию f=(01011110).

1. Строим СДНФ для функции f:

2. Строим сокращенную ДНФ функции f:

3. Строим матрицу покрытий (таблица 3.6).

Таблица 3.6

  N   ПИ   `x`y z `x y z x`y`z x`y z x y`z
    `x z `y z x`y x`z   + + + + + + + +

 

Решеточное выражение E = ( 1 Ú 2 ) 1 (3 Ú 4 ) 4 = 134 Ú 124.

4. Строим все тупиковые ДНФ функции f:

5. Обе построенные ТДНФ являются минимальными.

6. Повторяем эти этапы для функции `f.

СДНФ:

Сокращенная ДНФ:

Строим матрицу покрытий (таблица 3.7).

Таблица 3.7

  N   ПИ   x`y`z `x y`z x y z
    `x`z x y z   + + +

 

Решеточный многочлен E = 112 = 12. Единственная тупиковая ДНФ (она же минимальная) для функции Минимальная КНФ функции Из построенных МДНФ и МКНФ выбираем простейшую

Пример 7. В классе нормальных форм минимизировать функцию f=(11011011).

1. СДНФ:

2. Сокращенная ДНФ: =

3. Строим матрицу покрытий (таблица 3.8).

 

Таблица 3.8

  N   ПИ   `x`y`z `x`y z `x y z x`y`z x y`z x y z
x y x`z y`z `x z y z `x`y + + + + + + + + + + + +

 

E = ( 3 Ú 6 ) ( 4 Ú 6 ) ( 4 Ú 5 ) ( 2 Ú 3 ) ( 1 Ú 2 ) ( 1 Ú 5 ) = 1246 Ú 1356 Ú 134 Ú 256 Ú 2345.

4. Тупиковые ДНФ функции f:

5. Минимальные ДНФ функции f:

6. Повторяем указанные выше этапы для функции `f.

СДНФ:

Сокращенная ДНФ:

Построенная сокращенная ДНФ функции `f является для нее тупиковой и минимальной.

Минимальная КНФ функции

Построенные МДНФ и МКНФ имеют одно и то же число букв; все они составляют минимальные формы для f:

 

Минимизация частично определенных функций

Пусть функция f(x1, …, xn) частично (не всюду) определена. Если f не определена на p наборах из 0 и 1, то существует 2p возможностей для доопределения функции f. Полностью определенная функция g (x1, …, xn) есть доопределение функции f, если g совпадает с f на тех наборах из 0 и 1, на которых f определена.

Задача минимизации частично определенной функции f сводится к отысканию такого доопределения g функции f, которое имеет простейшую (по числу букв ) минимальную форму.

Обозначим через f0(x1, …, xn) и f1(x1, …, xn) доопределения нулями и единицами соответсвенно частично определенной функции f(x1, …, xn).

Теорема. Минимальная ДНФ частично определенной функции f(x1, …, xn) есть дизъюнкция самых коротких импликант в сокращенной ДНФ доопределения f1(x1, …, xn), которые в совкупности накрывают все конституенты единицы доопределения f0(x1, …, xn).

Доказательство. Рассмотрим СДНФ некоторого доопределения g(x1, …, xn) функции f(x1, …, xn). Конституенты единицы, входящие в эту форму, войдут и в СДНФ доопределения f1. Поэтому любой простой импликант функции g будет совпадать с некоторым импликантом функции f1 или накрываться им. Самые короткие импликанты, накрывающие единицы функции f, есть импликанты функции f1. Доопределение f0 имеет минимальное количество конституент единицы в своей СДНФ, следовательно, и количество простых импликант функции f1, потребных для накрытия этих конституент, будет наименьшим. ДНФ, составленная из самых коротких простых импликант в сокращенной ДНФ функции f1 , накрывающих все конституенты единицы функции f0, будет самой короткой ДНФ, доопределяющей функцию f.

Так как единицы функции f1 составлены из единиц функции f и единиц на наборах, на которых f не определена, то построенная ДНФ, накрывая все единицы функции f0 ( а, следовательно, и все единицы функции f ), совпадает с минимальной ДНФ некоторого доопределения g функции f.

 

Алгоритм минимизации частично определенных функций

В классе ДНФ

1. Строим СДНФ функции f0 .

2. Строим сокращенную ДНФ функции f1 .

3. С помощью матрицы покрытий коституент единицы функции f0 простыми импликантами функции f1 и решеточного выражения строим все тупиковые ДНФ (для некоторых доопределений функции f ).

4. Среди полученных ТДНФ выбираем простейшие, они являются минимальными ДНФ ( для некоторых доопределений функции f ).

 

Алгоритм минимизации частично определенных функций

В классе КНФ

Построение минимальных КНФ для частично определенной функции аналогично построению минимальных КНФ для всюду определенной функции.

Алгоритм минимизации частично определенных функций в классе нормальных форм аналогичен алгоритму минимизации в классе нормальных форм для всюду определенных функций.

Пример 1. В классе нормальных форм минимизировать частично определенную функцию f ( x, y, z, t ) = (1---010010-01--1)

Решение. Минимизируем функцию f в классе ДНФ.

1. Строим сокращенную ДНФ для доопределения единицами f1 функции f по таблице 3.9.

Таблица 3.9

x y z t f f0 f1 `f h0 h1
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 - 0 1 - 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 - 0 1 1 1 1 0 0 0

2. Строим матрицу покрытий коституент единицы в СДНФ для доопределения нулями f0 функции f с помощью построенной сокращенной ДНФ для f1 ( таблица 3.10).

Таблица 3.10

N ПИ
      + +
+        
    + +  
+   +    
  +      
  +      

3. По таблице строим решеточный многочлен

E = (2Ú 4)(5Ú 6)(3Ú 4)(1Ú 3)1 = 145 Ú 125 Ú 146 Ú 1236.

4. Строим все тупиковые ДНФ:

5. Из построенных тупиковых ДНФ выбираем минимальные:

Функции g1 и g3 есть минимальные доопределения функции f в классе ДНФ.

Минимизируем теперь функцию f в классе КНФ. Для этого проведем минимизацию функции `f в классе ДНФ Пусть h0 и h1 есть доопределение нулями и единицами соответственно функции `f.

Сокращенная ДНФ для

Матрица покрытия конституент единицы в СДНФ для h0 с помощью простых импликант в сокращенной ДНФ для h1 приведена в таблице 3.11.

Таблица 3.11

N ПИ
      + +
  + +    
  +      
      +  
+ +      
        +

 

3. Решеточное выражение E=5 (2 Ú 3 Ú 5) 2 (1Ú 4)(1Ú 6) = 25(1Ú 46) = 125 Ú 2446.

4. Строим две тупиковые ДНФ:

и

Минимальная.

5. Функция есть минимальное доопределение функции f в классе КНФ.

Найденные МДНФ g1, g3 и МКНФ являются минимальными доопределениями функции f в классе нормальных форм.

Техническая реализация минимальных форм для функции часто проще, а потому дешевле реализации ее СДНФ ( СКНФ ). Следовательно, этап минимизации при конструировании логических схем является одним из важнейших.

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-09; Просмотров: 1224; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.028 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь