Выборочное пространство: перечень возможных событий

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Каждый случайный эксперимент характеризуется выборочным пространством, представляющим собой перечень всех возможных результатов этого эксперимента. Обратите внимание на то, что в отношении выборочного пространства никакой неопределенности нет. Это вполне определенный список того, что может наблюдаться. Такой подход позволяет сделать случайную ситуацию более определенной и часто помогает также прояснить свое представление о ней. Ниже приведены выборочные пространства для описанных ранее случайных экспериментов.

1. В случае исследования дохода семей выборочное пространство представляет собой список возможных значений дохода. Предположим, что доход может принимать нулевое значение или быть положительным числом, и представим себе выборочное пространство как список неотрицательных значений денежных сумм в долларовом выражении.

2. Для фокус-группы, выбирающей дизайн новой лампы, выборочное пространство значительно меньше, оно состоит из семи предложенных вариантов дизайна:

Дизайн А

Дизайн B

Дизайн C

Дизайн D

Дизайн E

Дизайн F

Дизайн G

3. В случае проверки качества замороженных обедов выборочное пространство представляет собой набор всех возможных вариантов оценок качества. Это набор списков, каждый из которых содержит 5 чисел (по одному на каждый из проверенных обедов) из интервала от 1 до 4 (каждое число характеризует качество соответствующего обеда). В данном случае выборочное пространство слишком велико для того, чтобы приводить его здесь полностью. Отметим, однако, что перечень элементов выборочного пространства может начинаться с варианта, содержащего все единицы (т.е. имеющего вид “1, 1, 1, 1, 1”, что свидетельствует об отвратительном качестве всех проверенных обедов) и оканчиваться вариантом, содержащим все четверки (т.е. “4, 4, 4, 4 4”, что соответствует отменному качеству всей попавшей на проверку продукции). Между этими вариантами должны быть все возможные списки оценок качества обедов (например, “3, 2, 3, 3, 4”).

В данном случае выборочное пространство содержит 1024 варианта списков оценок. Это значение можно вычислить как 4*4*4*4*4=4⁵, поскольку существует 4 возможные оценки качества для первого обеда, 4 - для второго и так далее до 5-го выбранного для проверки обеда.

Результат: что происходит в действительности.

Каждый раз выполнение случайного эксперимента дает ровно один результат. Поскольку выборочное пространство содержит все возможные результаты, не должно быть никаких неожиданностей: результат эксперимента должен содержаться в выборочном пространстве.

Вот результаты одного выполнения каждого из рассматриваемых нами случайных экспериментов.

1. В исследовании дохода семьи после одного звонка, который остался без ответа (никого не оказалось дома), и одного, в результате которого был получен ответ “это не ваше дело”, удалось дозвониться до человека, который назвал доход своей семьи (получен результат):

$36 500

2. При обсуждении в фокус-группе после длительных дискуссий о достоинствах различных вариантов дизайна лампы был сделан выбор (получен результат):

Дизайн D

3. При исследовании качества замороженных обедов был получен список оценок качества для каждого из пяти проверенных обедов:

3 3 1 2 2

События: они либо происходят, либо нет

В качестве формального определения события выступает любой набор указанных заранее (до проведения случайного эксперимента), результатов. Таким образом, можно сказать, что каждый раз при проведении случайного эксперимента мы наблюдаем, наступает определенное событие или нет. Можно определить для случайного эксперимента несколько событий или только одно. Каждое событие соответствует некоторому представляющему интерес свойству.

Ниже описаны некоторые события для каждого из рассматриваемых случайных экспериментов.

1. При исследовании дохода семьи можно рассмотреть, например, три разных события.

Первое событие Низкий уровень дохода От $10 000 до $24 999

Второе событие Средний уровень дохода От $25 000 до $44 999

Третье событие Достаточный уровень дохода $20000 и выше

Список результатов для события «Низкий уровень дохода» может быть расписан более детально как $10000, $10001, $10002, …….., $24997, $24998, $24999.

Для некоторого наблюдаемого результата $36 500 мы видим, что первое событие не наступает, в то время как два других наступают. Таким образом, эта семья имеет " средний уровень дохода” и “достаточный уровень дохода”, но не “низкий уровень дохода”.

2. Для случая работы фокус-группы по обсуждению дизайна лампы рассмотрим событие “выбранный дизайн удобен для производства”, включающее следующие варианты дизайна:

Дизайн А

Дизайн В

Дизайн С

Дизайн F

Поскольку наблюдаемый результат, дизайн D, в число этих вариантов не входит, данное событие «не произошло». К сожалению, фокус-группа выбрала дизайн, который достаточно сложен для производства.

3. Для проверки качества замороженных обедов рассмотрим событие “все образцы — хорошего или высшего качества”. Это означает, что все пять обедов должны быть оценены значениями 3 или 4. При этом, например, наблюдаемый результат

не может быть квалифицирован, как “все образцы — хорошего или высшего качества” (три последних обеда получили слишком низкие оценки). Таким образом, данное событие не произошло. Однако если бы результат имел вид

3, 4, 3, 4, 4,

то рассматриваемое событие имело бы место (поскольку все обеды имели бы качество 3 или 4).

Чтобы дать этому событию формальное определение, т.е. определить его в качестве набора тех результатов, при получении, которых событие имеет место, необходимо составить следующую таблицу:

3 3 3 3 3 (первый список)

3 3 3 3 4

3 3 3 4 3

………….

4 4 4 4 3

4 4 4 4 4 (последний список)

Таким образом, событие “все образцы — хорошего или высшего качества” наблюдается только в том случае, если полученный результат входит в данный полный список.

Как видите, здесь нет ничего загадочного. Необходимо:

· тщательно определить случайный эксперимент,

· описать выборочное пространство,

· результаты,

· события

— и неопределенную ситуацию удается привести в надлежащий порядок. И наконец, события позволяют формулировать обычные содержательные утверждения, как; например, “Сегодняшний товар прошел контроль качества” или “Я нашел еще одну семью с достаточным уровнем дохода! ”

Насколько вероятно событие?

Как нам уже известно, каждый раз при проведении случайного эксперимента каждое из событий либо происходит, либо не происходит. Это пока еще мало о чем говорит. Нам хотелось бы знать, насколькоправдоподобно конкретное событие. Эта правдоподобность характеризуется числом, которое называется вероятностью события. Сейчас мы дадим определение этого понятия, обозначим, откуда берутся числа, характеризующие вероятность, а также покажем, как вероятность указывает приблизительное количество появлений некоторого события при многократном повторении случайного эксперимента.

Каждое событие имеет свою вероятность

Каждому событию соответствует число в интервале от 0 до 1, которое называют вероятностью события. Вероятность показывает, насколько правдоподобно наступление данного события при каждом выполнении случайного эксперимента. Вероятность, равная 0, означает, что соответствующее событие по сути никогда не наблюдается, а вероятность, составляющая 1, свидетельствует о том, что данное событие происходит практически всегда.

В целом вероятность показывает приблизительную долю случаев, в которых ожидается наступление события.

Вероятность Интерпретация

1, 00 Событие наблюдается (практически) всегда

0, 95 Событие наблюдается примерно в 95% случаев (оно очень вероятно)

0, 50 Событие наблюдается примерно в половине случаев

0, 37 Событие наблюдается примерно в 37% случаев

0, 02 Событие наблюдается примерно в 2% случаев (оно маловероятно, но возможно)

0, 00 Событие не наблюдается (практически) никогда

Интерпретация этих чисел требует определенной осторожности. Если вы можете провести только один эксперимент и повторить его нельзя (например, если речь идет о вероятности того, что старое здание будет успешно взорвано), вероятность в 0, 97 свидетельствует о большой вероятности успеха с малой возможностью потерпеть неудачу. Однако неверно будет в таком случае утверждать, что “успех ожидается в 97% случаев”, если только вы не собираетесь повторять эту процедуру в дальнейшем для многих подобных старых строений.

Можно также определить вероятность, используя такое понятие, как шанс. Шанс представляет собой положительное число, равное частному от деления вероятности наступления события на вероятность того, что это событие не произойдет:

Шанс = p/(1-p), где p – вероятность того, что событие произойдет

Так, например, вероятность 0, 5 соответствует шансу 0, 5/(1-0, 5)=1. Это иногда формулируется в виде " шансы 1 к 1”. Вероятность 0, 8 соответствует шансу 0, 8/(1-0, 8)=4, или 4 к 1. Большой шанс соответствует более высокой вероятности и большему правдоподобию. Обратите внимание, что, несмотря на то, что вероятность не может выходить за пределы промежутка от 0 до 1, шанс может принимать любое неотрицательное значение.

12 Следующая ⇒