Относительная частота и закон больших чисел

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Предположим, что у нас есть возможность провести случайный эксперимент неограниченное число раз в совершенно одинаковых, за исключением влияния случайного фактора, условиях. Относительная частота некоторого события равна отношению количества раз наступления этого события (“числа появлений события”) к общему количеству проведенных экспериментов (“числу повторов”). Эта величина может задаваться либо в виде дроби (например, 0, 148), либо в процентном выражении (например, 14, 8%). Формула для вычисления относительной частоты события имеет следующий вид:

f =

Например, если вы опросили 536 человек, которые согласились ответить на ваш вопрос, и нашли, что в 212 случаях семьи имеют достаточный доход размером $20000 или более, относительная частота будет равна:

212/536 = 0, 396 или 39, 6%.

Величина относительной частоты 39, 6% определена для случайного эксперимента “выяснение дохода у человека; согласившегося ответить на вопрос” с представляющим интерес событием “доход составляет $20000 или более”. Если использовать такие определения, становится понятным, что в данном случае проведен случайный эксперимент, причем он повторен n — 536 раз. В данном случае можно также вести речь, и о другом случайном эксперименте, который также может представлять интерес, а именно, “определение дохода семей 536 человек, согласившихся ответить на вопрос”. Однако для этого более масштабного случайного эксперимента относительная частота не имеет смысла, поскольку этот эксперимент проведен только один раз.

Эти различия не тривиальны. Менеджеры часто считают, что подобная “строгость рассуждений” полезна лишь в случае более сложных проблем. Относительная частота и вероятность некоторого события — это близкие, но разные понятия. Существенное различие состоит в том, что вероятность представляет собой точное число, в то время как относительная частота - это случайное число. Это связано с тем, что вероятность события оказывается свойством базовой ситуации (случайного эксперимента, выборочного пространства, события), а относительная частота зависит от (случайных) результатов, получаемых при проведении случайного эксперимента n раз.

Относительные частоты могут использоваться для оценки (наилучшая приблизительная оценка) значения вероятности в случае наличия информации, основанной на предшествующем опыте. Так, например, величину относительной частоты (в данном случае величину 39, 6% для достаточного уровня дохода) можно использовать в качестве приближения для истинного значения вероятности того, что при случайном выборе у человека, согласившегося ответить на вопрос, окажется достаточный уровень дохода. Таким, образом, данное значение, 0, 396, можно использовать так, как будто это и есть вероятность. Не следует, однако, забывать о том, что существует различие между истинной (неизвестной) величиной вероятности и наилучшей приблизительной оценкой, полученной на основе рассмотрения относительной частоты.

Закон больших чисел гласит, что относительная частота должна быть близкой к вероятности, если эксперимент проведен много раз, т.е. при больших значениях n. Насколько, как правило, будет близка (случайная) величина относительной частоты к (фиксированной) величине вероятности? Это зависит от того, насколько правдоподобно данное событие и сколько раз повторен эксперимент (n). В табл. 6.3.1 представлены значения вероятности и стандартные отклонения.

Табл.6.3.1.

n =	Р = 0, 5	Р = 0, 25 (или 0, 75)	Р = 0, 1 (или 0, 9)
Стандартное отклонение	Стандартное отклонение	Стандартное отклонение
	0, 16 0, 10 0, 07 0, 05 0, 02	0, 14 0, 09 0, 06 0, 04 0, 01	0, 09 0, 06 0, 04 0, 03 0, 01

Если, например, вероятность события составляет 0, 75 и случайный эксперимент повторяется n = 100 раз, можно ожидать, что относительная частота окажется в среднем приблизительно на 0, 04 выше или ниже истинной вероятности (0, 75).

На рис. 6.3.1 и 6.3.2 показан пример того, как относительная частота (подверженная случайным колебаниям ломаная линия на каждом из графиков) выступает в качестве приближения для вероятности (прямая горизонтальная линия на высоте 0, 25 на каждом графике). Обратите внимание, что на рис. 6.3.2 масштаб по вертикали растянут. Это сделано потому, что при больших n относительная вероятность ближе к действительному значению вероятности.

Поскольку относительная частота достаточно близка, по крайней мере для больших значений n, к вероятности (в соответствии с законом больших чисел), относительную частоту появления некоторого события можно использовать в качестве “наилучшей приблизительной оценки” (на основе имеющихся данных) вероятности этого события.

Пример: Насколько велика изменчивость выпущенной сегодня продукции высшего качества

Предположим, что вы проверили качество 50 единиц из сегодняшнего выпуска продукции вашей фирмы. Из предыдущего опыта вам известно, что в течение длительного периода времени 25% произведенной продукции оценивались как продукция высшего качества и считались годными для пропажи на экспорт самым требовательным иностранным заказчикам. Чего следует ожидать на сегодняшний день? Получится ли ровно 25% из этих 50, т.е. 12, 5 единиц продукции высшего качества? Естественно, нет. Однако насколько ниже или выше этого значения можно ожидать реальный результат?

Стандартное отклонение относительной частоты (0, 06, или 6%) из табл. 6.3.1 поможет получить ответ на этот вопрос. Давайте рассуждать таким образом. Сегодня 50 раз выполнен случайный эксперимент " производство единицы продукции и определение ее качества". Относительная частота события «единица продукции имеет высшее качество» будет равна проценту продукции высшего качества в сегодняшнем производстве. Эта относительная частота будет близка к вероятности (25%, или 0, 25) и будет (согласно данным таблицы) отстоять от значения 0, 25 приблизительно на 0, 06, или 6%. Если перейти от процентов к единицам продукции, эта величина изменчивости составит 0, 06 * 50= 3 единицы товара. Таким образец, вы ожидаете получить результат «12, 5 плюс или минус 3» единиц продукции высшего качества.

Изменчивость, которая характеризуется 3 единицами продукции, интерпретируется так, как это обычно делается для стандартного отклонения. Не следует удивляться, если среди всей продукции окажется 10 или 14 единиц высшего качества или даже 7 или 18 (примерно две величины стандартного отклонения от 12, 5). Однако окажется странным и неприятным, если таких товаров окажется всего лишь несколько штук. Подобный результат может свидетельствовать о необходимости вносить коррективы в процесс производства. Будет также удивительно, хоть и очень приятно, обнаружить 23 единицы продукции высшего качества.

⇐ Предыдущая 12