Свойства функций реактивных двухполюсников

Возникают следующие задачи

1. Записать Z от схемы двухполюсника

2. Исследовать Z и построить графики Z(ω ).

3. По заданному аналитическому выражению Z(сопротивление) или Y(проводимость) определить схему двухполюсника.

4. Рассчитать величины элементов заданного двухполюсника.

Первая и вторая задача относятся к задачам анализа двухполюсника. Третья и четвертая задача относится к синтезу двухполюсника. Причем в задачах анализа есть одно единственное решение.В задачах синтеза есть много (если они существуют) решений.

Двухполюсники делятся на пассивные и активные, линейные не линейные, на чисто реактивные(идеальные) и на двухполюсники с потерями.

Двухполюсники характеризуются по числу элементов первого порядка, второго порядка и т. д. Порядок определяется числом реактивных элементов.

Будем квалифицировать двухполюсники по количеству элементов.

Эквивалентные двухполюсники (Д) – это двухполюсники, у которых одинаковые характеристики, но разные схемы.

Потенциально-эквивалентные двухполюсники (Д) – это такие двухполюсники, которые при определенных условиях могут стать эквивалентными (должны содержать одинаковое число элементов).

Также существуют Обратные двухполюсники и Потенциально обратные Двухполюсники.

Реактивные двухполюсники.

Различают следующие Канонические схемы Д: 2 схема Фостера, две схемы Кауэра.

Отличием канонических схем является то, что они не содержат сокращаемых элементов.

Схемы двухполюсников строятся на основании звеньев второго порядка:

L_i

C_i

L_i

3..БЮ......))))

Существуют также и неполные (выраженные) контура:

Свойства основных контуров.

Свойства функций реактивных двухполюсников

Исследование функций Z и Y проводят с использованием следующих свойств:

1. Общее число нулей и полюсов на единицу больше числа элементов, число резонансов на единицу меньше числа элементов. В число нулей и полюсов входят и резонансы.

Число резонансов на единицу меньше числа элементов.

2. Нули и полюса функции Z, Y строго чередуются.

3. Функции Z, Y могут иметь асимптоты: вертикальную ось, горизонтальные асимптоты, наклонные асимптоты типа jω L_э.

4. dZ /dw ≥ 0 ( dy/dw ≥ 0 ), т.е функции Z и Y возрастающие.

Производная по частоте от сопротивления положительна.

Реактивные двухполюсники различают по числу элементов

≡

L_Э= + +

Основной характеристикой двухполюсника является частотная характеристика сопротивления или частотная характеристика проводимости

Ζ (jω )=

Рассмотрим простейшие двухполюсники и их частотная характеристика:

Ζ ₁=jω L₁

График зависимости сопротивления этого одноэлементного двухполюсника от частоты

Ζ ₂=

График зависимости сопротивления от частоты

Формула Фостора

позволяет записать аналитическое выражение Z двухполюсника без вывода

(4.3)

Количество скобок столько сколько резонансов напряжений ( в числители ).

Количество скобок в знаменатели равно числу резонансов токов.

+1 - если схема пропускает постоянный ток

– 1 - если схема пропускает постоянный ток

n - 1 число резонансов

k- определяется из поведения двухполюсника при стремлении w→ ∞.

К - коэффициент определяется из поведения двухполюсника при ω = ∞ путем замыкания С или разрыва индуктивностей L, но так, чтобы оставалась цепь между зажимами двухполюсника «К» может быть двух видов.

K=L_э

ПРИМЕР:

1) n=3

При ω → ∞ остается только С₅, т.к при ω → ∞ Z_L₄=jω L₄→ ∞ _{И ТОК ПОТЕЧЕТ ПО ПУТИ}С_{5, ТОГДА}

К₅=

₂₎

Т.к при ω → ∞ Х_C= → 0, то схема будет иметь вид (при ω → ∞ )

или

L_Э= + L₆ и K₆= L_Э= + L₆

₃₎

_{При ω → ∞ схема будет иметь вид, т.к ток течет по пути наименьшего сопротивления, а при ω → ∞}

_X_L₌_{jω L}_{→ ∞,}_тогда

₌

В соответствие с формулой Фостера выражения для Z двухполюсников 1 - 4 примут вид:

Ζ ₁= -

Ζ ₂= j -

Ζ ₃= -

Ζ ₄= -

Обратные Двухполюсники

– два двухполюсника называются обратными, если на всех частотах выполняется условие Z₁∙ Z₂= R²=const (4.4), т.е произведение сопротивлений двух двухполюсников не зависит от частоты. R – коэффициент обратности.

Потенциально обратные двухполюсники таковы, что при изменении величин элементов одной из схем (без изменения самих схем) они станут обратными.

Они должны иметь противоположный характер Z при ω =0 и при ω → ∞.

Пусть дана схема 1. Необходимо найти ей потенциально – обратную нарисуем следующие схемы:

Смотреть 4.1.3

Схемы 1-2, 3-4 являются потенциально - эквивалентными, т.к у них по одинаковому количеству элементов и одинаковый характер сопротивлении при ω =0 и ω → ∞ , т.е графики сопротивления соответственно одинаковы

для 3-4 схем

Для 1-2 схем

Схемы 1-3; 1-4; 2-3; 2-4 – являются потенциально – обратными схемами, т.к для них выполняются соответствующие условия.

Общее сопротивление для схем 1

k₃=

Рассмотрим расчет элементов обратных двухполюсников:

(4.5)

( 4.5 а )

Синтез двухполюсников.

Свойства входных функций.

Синтез по Фостеру.

Первая форма.

Дано аналитическое выражение Z(jω ) – Z(P)

Требуется определить схему и величины элементов.

Первое: проверяем выражение по критериям физической реализуемости.

Второе: Задаемся следующей схемой:

Третье: Решаем заданное выражение.

Такая схема может содержать не более одного не полного (вырожденного контура). Это контур L ₀ и C_0.

Контур, в котором отсутствует один из элементов, называется вырожденным.

Общее сопротивление такой схемы будет равно сумме сопротивлений отдельных контуров, т.к они соединены последовательно.

, решая уравнение A(P)=0 – резонанс напряжений, находим нули решая B(P)=0 – резонанс токов ( полюс в нуле и в бесконечности ).Нули и полюса комплексно сопряженные.

Находим полюса Z(P). Для определения величин элементов моно и не находить нули Z(P), достаточно найти полюса, т.к. такая функция полностью определяется вычитаниями полюсов.

Ζ (p)= p _(4.11) Ζ _i= (4.12)

Величина Z(P) при P→ ∞ стремится к pL₀.

Если от заданного аналитического выражения определить lim_P_{→ ∞}_(4.13),то этот дает L₀в полюсе бесконечности.

Со определяет поведение Z(P) при P→ 0.

1/ C_{0 =}_lim{ Z(p) ∙ p} (4.14) – в полосе 0.

Необходимость нахождения L₀ и Со объяснялась в пункте (4.1.1).

При резонансе одного из контуров Z(p) стремится к ∞ следовательно:

При

ω _{0 -}_{были найдены в 4.11.}

Двухполюсник с потерями.

При Z=R+jX придется рисовать два графика: фазовый и сопротивлений.

Цепи первого порядка (одноэлементный двухполюсник)

Основной характеристикой двухполюсника является частотная характеристика. Частотную характеристик можно представить в двух системах координат: комплексной и полярной системах координат.

(4.24)

; ;

Двухэлементные двухполюсники с потерями.

Здесь возможен резонанс.

r-может быть потерями или непосредственно активное сопротивление, которое напаяны в схему.

Ζ ₁=r+j (ω L – )

Z=√ r²+(ω L – )²

Z=arctg ω L-

wрез.

Резонанс Zm(Z1)=0

ω рез1= ω рез =

Y₂= +jω L+ + = +ω ²L²+ + +ω ²L²+ + =Re(Y₂)

Ym (Y₂)=- +ω рез²L² + ^{= 0}

-L-ω рез²C² L r₂²₊ r₁²C+ ω рез²L² C=0

ω рез= =

резонанс возможен в следующей ситуации

4 C> r₁² 4 C> r₁²

L/C> r₂² L/C> r₂²

L/C > r₁² L/C> r₁²

L/C< r₂² L/C< r₂²

Вывод: таким образом в параллельном контуре с потерями

1) Не всегда есть резонанс токов

2) Резонансная частота зависит не только от величин активных сопротивлений, но и от сопротивления потерь r(R)

3) Часто используют контура с очень малыми потерями

4) 4 C> > r₁² (r₂²) ω рез =

Но стабильность настройки контура (неизменность резонансной частоты) зависит не только от стабильности L и C, но и от стабильности потерь r_1, r₂.Поэтому в цепях (схемах), где нужно иметь очень стабильную частоту, контур определяющий стабильность работы устройств не должен непосредственно нагружаться, а нагрузка включается через каскад.

Последовательный контур.

Параллельный Контур.

Im(y)

Re(y)

При резонансе Im(y)=0 т.е.

По формуле 4.25 делаем вывод:

Значение резонансной частоты зависит не только от величины реактивных элементов но и от активных сопротивлений.
При определении соотношениях параметров схемы резонансов нет мнимых резонансов.

Условия Резонансов:

Примем в случае 4.27 резонансные свойства выявлены слабо.

1- идеальная.

2- R₁< R₂

Для характеристики колебательной системы вводится понятие добротности.

Добротность оценивает потери в цепи и определяется отношениями энергии, запасаемой контуром (реактивным элементом) и мощности потерь.

Энергия, запасаемая реактивным элементом, пропорциональна реактивному сопротивлению, а мощность потерь пропорциональна активному сопротивлению - суммарному.

Что значит суммарная мощность потерь? Т.е сюда входят омические сопротивления, входят потери из за поверхностного явления, из-за потерь диэлектрика на каркасе катушки, потери из-за излучения в окружающее пространство (на высоких частотах), вносимые потери. Вносимые потери определяются цепями, связанными с данной цепью.

При резонансе ω _резL = (4.29)

p- характеристическое сопротивление контура.

, например Q₂> Q₃_{смотреть рисунок}

Кроме этого вводится понятие полосы пропускания (0, 707).

Для колебательных контуров допускается 30 процентов снижения Rг, т.е допускается снижение по уровню П 0, 1, при этом полоса пропускания увеличивается, а значит, улучшаются избирательные свойства контура. При уменьшении добротности, уменьшается полоса пропускания, и, значит уменьшаются избирательные свойства контура.

Колебательный контур с явно выраженной частотной зависимостью модуля Z можно использовать как некоторый фильтр ( избирательное устройство ), т.е может осуществляться частотная секция. Слова: избирательная, фильтрация, селекция может использовать как синонимы.

Пример: Дан контур

Напряжение на входе подается с неизменной амплитудой, но с изменяющейся частотой, тогда напряжение на выходе не будет постоянным, т.к зависит от частоты.

Чем дальше частота от резонансной частоты f₀, тем меньше Uвых., т.е контур обладает частотно-избирательными свойствами.

Полоса пропускания – это полоса частот, в которых мощность снижается не более чем в два раза.

Случай «постоянного» резонанса.

Оказывается в параллельном контуре может иметь место такое соотношение параметров, что контур будет иметь активное сопротивление на всех частотах, т.е имеет место «постоянный» резонанс.

Пусть дан контур

Каково условие, при котором имеет место «постоянный» резонанс?

Это:

r₁₌ r₂₌ r₌ r²=L/C (4.30)

Докажем (4.30). Для этого запишем аналитическое выражение Ζ

Ζ = + r+ r+ = r²+rjω L+ + + 2r+ =

+ 2r+ = r (4.31)

Итак, сопротивление контура Ζ равно активному сопротивлению r на всех частотах при условии (4.30).

Нарисуем фазовую характеристику:

Фазовая характеристика не нужна, т.к сопротивление Ζ на всех частотах постоянно и равно r.

Найдем добротность такого контура по определению:

Q= ≈ 1, т.к

p= ω ₀L= = r

ω _{0 =}

т.е мы видим, что избирательные свойства такого контура плохие, но этот контур хорош тем, что на всех частотах имеет резонанс.

Использование колебательных систем в качестве фильтрующих цепей.

Такой контур будет давать сигналы близкие к резонансной частоте.

Степень подавления помехи:

Чем выше добротность контура, тем лучше его избирательные свойства.

Здесь получаемые противоречия между требуемой полосой пропускания и избирательностью. Увеличение Q приводит к увеличению S, а с другой стороны уменьшает полосу пропускания. Полоса пропускания может оказаться уже, чем требуется, что приведет к амплитудно-частотным искажениям. Следовательно, необходимо улучшить прямоугольности АЧХ.