Задача 2. Расчёт статически определимого ступенчатого бруса при растяжение (сжатие)

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Для статически определимого ступенчатого бруса с жёстко защемлённым концом (см. схемы к задаче 2), нагруженного продольными усилиями Р₁, Р₂, q₁ и q₂ (см. таб. 1.2), необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений для всех участков бруса из условия прочности по допускаемым нормальным напряжениям при растяжении и сжатии.

Таблица 1.2

№	Р₁, кН	Р₂, кН	q₁, кН/м	q₂, кН/м
	10	80	10	70
	20	70	15	80
	30	60	20	90
	40	50	25	60
	50	40	30	50
	60	30	35	40
	70	10	40	30
	80	20	45	20
	10	50	55	50
	20	70	65	20

Принять для всех вариантов следующие соотношения: , , Е=10⁵МПа, а=1м.

Схемы к задаче 2

Пример решения задачи 2

Для ступенчатого бруса (см. рис.1.4, а) с жёстко защемлённым концом необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений s и перемещений .

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса из условия прочности по нормальным напряжениям, используя следующие числовые значения:

Р₁=30кН; Р₂=20кН; q₂=20кН/м; а=1м; ; ; Е=1, 8× 10⁵МПа; F₁=F; F₂=2F; F₃=3F.

Решение

1. Брус состоит из трёх участков. Границами участков являются сечения, к которым приложены внешние силы, или сечения, где изменяются размеры поперечных сечений.

Величину внутренних продольных усилий определим, используя метод сечений. При этом рассматриваем всё время правую отсечённую часть бруса.

Продольную силу N считаем положительной, если нагрузка, её создающая, вызывает растяжение рассматриваемого участка, т.е. направлена от рассматриваемого сечения. Нагрузка, вызывающая сжатие рассматриваемой части бруса, т.е. направленная к сечению, создаёт отрицательную продольную силу. В соответствии с расчётной схемой (рис. 1.4) аналитические зависимости для внутреннего продольного усилия N будут иметь следующий вид:

тогда

После подстановки численных значений, получим:

На основании полученных значений строим эпюру продольных сил N.

Рис. 1.4 Схема нагружения и эпюры N, σ и Δ l для ступенчатого

статически определимого бруса

2. Эпюру нормальных напряжений s получим, разделив значения продольной силы N на соответствующие площади поперечных сечений бруса. Знак продольной силы N определяет и знак соответствующего нормального напряжения s.

подставляя 2 крайних значения х₂ будем иметь:

3. Из условия прочности по нормальным наибольшим напряжениям растяжения и сжатия определим параметр F, а затем площади поперечных сечений каждого участка бруса.

Из условия прочности по растягивающим нормальным напряжениям находим:

отсюда .

Из условия прочности по сжимающим нормальным напряжениям находим:

тогда .

Из двух полученных значений выбираем наибольшее значение параметра F=250мм².

Определим площади поперечных сечений каждого участка:

F₁=F=250мм², F₂=2F=500мм², F₃=3F=750мм².

3. Зная площади поперечных сечений можно построить эпюру перемещений . Проще расчёт перемещений вести от заделки, т.е. за точку отсчёта брать сечение, перемещение которого равно 0.

Т.к. уравнение для перемещения на втором участке содержит квадратичную функцию, то графиком функции перемещения на втором участке будет являться парабола, причём в сечении, где парабола будет иметь экстремум. Приравняв уравнение для продольной силы к 0, получим расстояние х₀ до этого сечения.

где - расстояние до сечения, в котором .

Подставляя, полученное значение для , получим значение экстремума на параболе:

По найденным значениям строим эпюру перемещений.

Задача 3. Расчёт статически неопределимого

Ступенчатого бруса при растяжение (сжатие)

Для статически неопределимого бруса с жёстко защемлёнными концами, нагруженного продольной нагрузкой как показано на схеме к задаче 3 необходимо:

1. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений ;

2. Подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок,

Необходимые данные для решения задачи взять из таблицы1.3.

Таблица 1.3

Вариант	Усилия	Длины участков
Р, кН	q, кН/м	l₁, м	l₂, м	l₃, м
	27	12		2	0, 5
	35	24	1, 2	1, 9	0, 8
	53	46	1, 3	1, 8	1
	29	10	1, 4	1, 7	1, 1
	37	22	1, 5	1, 2	1, 2
	45	32	1, 6	1, 4	2
	10	30	1, 7	1	1, 8
	15	18	1, 8	1, 1	1, 5
	25	20	1, 9	1, 2	1, 2
	50	44	2	0, 8	1

Схемы к задаче 3

Пример решения задачи 3

Для ступенчатого бруса (см. рис. 1.5а) построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений и перемещений ; подобрать величину площади поперечных сечений всех участков бруса методом допускаемых нагрузок если Р₁=3Р; Р₂=2Р.

Р=10 кН, а=1м,

Решение

Задача один раз статически неопределима в силу плоской системы сил, действующих по одной прямой, для которой, как известно, можно составить только одно уравнение равновесия:

в котором два неизвестных: и .

Отбросим правую опору, заменив её действие на брус реакцией .

Перемещение сечения в точке В равно нулю, т.к. это сечение жёстко заделано. Используя принцип независимости действия сил, получим уравнение совместности деформаций:

Распишем эти деформации по закону Гука:

отсюда, после сокращения на а и EF, кН.

В соответствии с расчётной схемой рис. 1.5б аналитические зависимости для N, и будут следующими:

Участок 1

кН ; ; .

Подставим в уравнение для перемещения два крайних значения , после подстановки будем иметь:

Участок 2

кН;

;

Подставляя пределы получим:

Рис. 1.5 Расчётная схема и эпюры для примера

решения задачи 3

Участок 3

кН;

;

Подставляя пределы получим:

На основании данных аналитических зависимостей строим эпюры N, и (рис. 1.5 в, г, д).

Построение эпюры перемещений может служить проверкой правильности решения задачи. Перемещение на участке 1 при z₁=0 равно нулю, перемещение на участке 3 при z=a также должно равняться нулю, т.к. эти два сечения соответствуют жёсткому закреплению бруса, перемещения которых невозможны.

2. На эпюре нормальных напряжений найдём максимальное напряжение: .

Для определения площади поперечного сечения воспользуемся условием прочности по нормальным напряжениям:

Приравняв максимальное нормальное напряжение к допускаемому, определим площадь поперечного сечения F:

Таким образом, на участке 1 площадь поперечного сечения должна быть , а на участке 2 в два раза больше, т.е. .

Плоский изгиб

Изгиб называется плоским , если плоскость действия изгибающей нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения.

Если изгибающий момент M_x является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым . При наличии поперечной силы Q_y изгиб называется поперечным.

Брус, работающий при изгибе, называется балкой.

Построение эпюр поперечной силы Q_y и изгибающего момента M_x является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Q_y и M_x определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения .

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила .

Между поперечной силой и изгибающим моментом существует следующая зависимость:

то есть первая производная от изгибающего момента по длине участка равна поперечной силе.

Это соотношение в общем виде было получено Журавским и носит название теоремы Журавского.

На основании теоремы Журавского могу быть сформулированы правила проверки эпюр:

1. В точке приложения сосредоточенной силы на эпюре Q_y должен быть скачок, равный по величине и знаку приложенной силе.

2. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре M_x должен быть скачок, равный по величине и по знаку приложенному моменту.

3. На участке, где приложена распределенная нагрузка, эпюра Q_y является наклонной прямой (наклон по направлению действия нагрузки), а эпюра M_x - параболой, выпуклость которой направлена навстречу распределенной нагрузке.

4. На участках, где Q_y > 0, M_x возрастает, на участках, где Q_y< 0, M_x убывает, если Q_y = 0 (эпюра пересекает нулевую линию), то эпюра М_x имеет экстремум.

5. В тех точках, где на эпюре Q_y имеется скачок, на эпюре М_x будет излом.

6. Чем больше по модулю величина Q_y _, тем круче изменяется эпюра М_x.

7. На свободных концах балки изгибающий момент равен нулю.

Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении

Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒