Раздел 1. Математическое моделирование линейных непрерывных систем в классической теории управления

Раздел 1. Математическое моделирование линейных непрерывных систем в классической теории управления

Лекция 1.1. Предмет науки, математический язык, основные понятия. Принципы регулирования.

Под автоматикой будем понимать область знаний о принципах организации, методах исследования и построения систем, различной физической природы, выполняющих свои задачи без непосредственного участия человека

Автоматика, как наука, содержит все необходимые классификационные признаки присущие этому понятию, - то есть имеет свой предмет, терминологию, язык и теорию.

Ее предмет – конкретные системы автоматического управления,

язык – модели процессов, явлений и свойств в этих системах, основанные на применении теории дифференциальных и разностных уравнений, алгебры логики, интегральных преобразований Лапласа и Фурье, векторной алгебре и матричном анализе.

Ее теория – это теория автоматического управления. Целью данного курса лекция является изучение основ этой теории.

Основы этой теории являются общими для автоматических систем различного назначения и в этом смысле является фундаментальными.

Особенности предмета изучаемой нами дисциплины связаны с такими автоматическими системами, основной задачей которых является управление механическим движением объекта.

В частности, в конкретной области интересующей нас техники, примерами таких систем являются:

- радиолокационные и оптические локаторы ЛА ( автоматические визиры);

-системы наведения установок огневой защиты ЛА (системы стрелково-пушечного вооружения );

- системы управления движением беспилотных ЛА бортового оснащения ЛА

Существенно, что к динамическим свойствам этих системам предъявляются значительно более высокие требования, чем к аналогичным системам наземного, морского базирования и к системам автоматики в общем машиностроении. Поэтому их разработка вынуждена использовать наиболее полный арсенал средств данной науки.

Основные понятия, используемые в автоматике.

Система.

Понятие система раскрывается через объединение следующих составляющих понятий: целостность, организация, интегративность.

1.Целостность определяется наличием таких устойчивых связей между элементами системы, сила которых превосходит силу связей между элементами системы и окружающей средой.

Под элементом системы понимается часть системы с однозначно определенными свойствами и известным поведением,

Под связью понимается физический канал обмена информацией (энергией, веществом) между элементами системы, а также между элементами и окружающей средой.

Понятие целостность отделяет систему от окружающей среды ( из «окружения»)

2.Понятие организация определяет упорядоченность элементов связей в пространстве и времени.

3. Интегративность - говорит о том, что система, как образование взаимодействующих элементов с учетом их связей с «окружением», обладает особым свойством, присущим только ей в целом. Данное свойство неповторяемо ни одним элементом системы, ни их группой. Изучение отдельных элементов (или их отдельных объединений) не дает полного знания о системе в целом.

Понятие - цель управления.

Функционирование системы подчинено определенной цели.

Цель управления - обеспечить желаемое протекание некоторого процесса. В частности, в изучаемой области автоматики - это желаемый процесс механического движения некоторого технического объекта ( объекта управления ).

Понятие - задача управления.

В процессе работы системы реализуется решение задачи управления.

Задача управления – это - поиск наиболее эффективного способа воздействия на объект управления в интересах достижения цели управления. Здесь понятие «эффективность» рассматривает экстремальное состояние выбранного критерия качества управления ( например, - управление движением с требуемым быстродействием и точностью при минимальном расходе энергии)

Понятие -кибернетика

Поиском и разработкой методов решения задачи управления занимается кибернетика .

Кибернетика - наука об управлении. Основы заложены Норбертом Винером (1894-1964г.). Первая публикация - " Кибернетика или управление и связь в животном и машине" - 1948г.

В целом, предметом данной науки являются системы любой физической природы ( технические, биологические, административные, социальные ) способные воспринимать, хранить, преобразовывать информацию и использовать ее для решения задач управления.

Понятие - техническая кибернетика

Область изучаемой нами науки, связана с техническими системами. Поиском и разработкой методов решения задачи управления, а также исследованием свойств, в технических системах занимается раздел кибернетики, который называют технической кибернетикой.

Наиболее применяемый и изученный метод управления в технической кибернетике, в большинстве простейших технических систем, связан с понятием - регулирование.

В таких системах (САР) решается задача управления, целью которой является поддержание, в каждый момент времени, значений выходных переменных системы равными значениям входных переменным этой системы.

Поэтому, в таких системах - входные переменные системы определяют желаемый процесс поведения выходных переменных.

Например, управление сложным движением объекта с помощью манипулятора, входное звено которого соединено с оператором, задающим желаемый процесс движения объекта управления.

Теоретической базой построения таких систем является теория автоматического регулирования (ТАР), которая представляет раздел более общей теории - ТАУ (теория автоматического управления). ТАУ включает кроме задач ТАР и другие, связанные с более сложной обработкой информации.

К таким системам относятся:

- экстремальные системы управления - находят и автоматически поддерживают значение управляющей переменной, обеспечивающей экстремум отдельного показателя качества процесса - например, минимальный расход энергии;

- самонастраивающиеся и адаптивные системы

Применяются для автоматического управления параметрами и структурой в интересах обеспечения заданного качества процесса при изменении условий работы системы( например изменение аэродинамических параметров, давления, температуры, характера и интенсивности внешних воздействий); алгоритмы изменения параметров и структуры заранее разрабатываются на этапе их проектирования.

В общем случае под структурой системы будем понимать

Причинно-следственную связь частей в целом.

Последующее развитие автоматики было вызвано необходимостью создания таких систем, принципиальным отличием которых( от рассмотренных выше) является то, что алгоритмы управления параметрами и структурой создаются в ее вычислительном устройстве в процессе ее функционирования (а не на этапе разработки). Такие системы называют – самоорганизующимися.

Теоретическое обеспечение для их исследования и построения дает –современная теория управления (СТАУ).

Важно, что методы современной ТАУ применяются и для повышения качества работы систем автоматического регулирования (например, для класса многомерных нестационарных систем автоматического регулирования).

Рассмотрим основные понятия, используемые в ТАУ.

Динамическая система.

Объектом исследования в ТАР и ТАУ является динамическая система.

В широком смысле - это абстрактный образ реальной системы в виде ее математической модели. Процессы в такой модели определяются только структурой, параметрами, воздействиями и начальными условиями. Это позволяет отображать процессы различной физической природы (механика, гидравлика, электротехника, термодинамика, аэродинамика, ) с единых позиций.

Воздействия.

Под воздействиями понимаются физические причины в виде сигналов, сил, моментов, вызывающие изменение состояния системы. Они могут быть управляющими (полезными) и возмущающими (вредными).

Управляющие воздействия направлены на достижение цели управления; возмущающие воздействия препятствуют достижению этой цели. Возмущающие воздействия могут генерироваться и элементами системы («шумы» элементов).

Состояние системы

Это понятие наиболее строго раскрывается в современной теории управления.

Состояние динамической системы однозначно определяется в каждый момент времени минимально-необходимым количеством независимых внутренних переменных, связанных уравнениями законов физики явлений в элементах системы. Данные переменные в современной теории управления называют переменными состояния, фазовыми координатами. В механике их называют обобщенными координатами.

Изменение этих переменных связывают с понятием - движение системы. Обобщенная модель системы имеет вид Рис.1.1., где

управляющие воздействия; возмущающие воздействия;

переменные состояния; выходные переменные.

Такой образ системы называют " черным ящиком", имея в виду то, внутренние переменные, в отличие от внешних переменных скрыты от наблюдения.

Применение такой обобщенной модели соответствует определению понятия - динамическая систем в узком смысле.

Согласно нему, динамическая система - это любая система, состояние которой характеризуется совокупностью фазовых координат (переменных состояния) в каждый момент времени, причем задание этих фазовых координат в какой- то момент времени полностью определяет их значения в любой другой момент времени.

Принципам регулирования

Существенно, что главной тенденцией такой системы в процессе ее функционирования является стремление к уменьшению ошибки (разности между входной и выходной переменной) и независимо от того, какими воздействиями и отклонениями параметров она вызвана.

Принцип управления без обратной связи(разомкнутая система).

Используется в системах, в которых возмущающими воздействиями и отклонениями параметров можно либо пренебречь, либо учесть их заранее в алгоритме формирования управляющего сигнала. Схема, поясняющая принцип управления приведена на Рис.1.4

Недостаток принципа - высокая чувствительность точности регулирования к изменению условий работы системы, отличающихся от расчетных условий. Достоинство - отсутствует возможность потери устойчивости при отклонении параметров.

Практикой разработки показано, что «для многих сложных задач грубое (упрощенное) решение оказывается достаточным. Начинать исследование с упрощенной модели целесообразно даже в случае, когда заранее известно, что придется изучать более сложную модель. Закономерности, полученные на грубой модели. позволяют рационально организовать исследование более полной модели».

В частности, для достаточно большого числа реальных систем удается решить такие задачи их построения, рассматривая систему как непрерывную, стационарную (параметры постоянны) и линейную (связи между переменными описываются линейными дифференциальными уравнениями).

Примечание

Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности

2.Дифференцирование оригинала

при нулевых начальных условиях получаем:

3 Интегрирование оригинала при нулевых начальных условиях

4. Конечное значение оригинала

5. Преобразование свертки функций

6. Преобразование функции смещенной по времени

7. Изменение масштаба времени

8. Способ получения оригинала по изображению, представляющему дробно-рациональную функцию вида:

полином переменной « »

В результате разложения выражения на элементарные слагаемые получаем:

Для каждого слагаемого находится в таблице соответствия оригинал и производится их суммирование, например:

Передаточная функция

Вернемся к исходному дифференциальному уравнению.

Примем нулевые начальные условия (до момента включения система находилась в состоянии покоя) и проведем преобразование по Лапласу левой и правой части уравнения.

При нулевых начальных условиях связь между производной и ее изображением отображается теоремой дифференцирования в виде:

Применяя это выражение к уравнению, получаем:

Рассмотрим комплексную функцию, получаемую из данного уравнения при отношении изображений выходной и входной переменных:

Такая функция называется передаточной функцией (ПФ).

Если система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то ПФ является дробно-рациональной алгебраической функцией комплексного аргумента " s".

Если в ПФ не проводилось сокращение одинаковых нулей (корни числителя комплексной функции)и полюсов (корни знаменателя), то данная ПФ полностью соответствует отображаемому дифференциальному уравнению и от нее всегда можно получить это уравнение. Применение ПФ позволяет получить алгебраическую связь между переменными системы

Графически такую связь можно изобразить в виде прямоугольника, внутри которого записано выражение для ПФ- на входе которого изображение по Лапласу входной переменной, а на выходе изображение по Лапласу выходной переменной.

Используя такую возможность, определим изображение импульсно-переходной функции, представляющей реакцию системы на мгновенный импульс.

Так как, изображение мгновенного импульса равно единице, то изображением импульсно-переходной функции, согласно полученной связи является передаточная функция системы:

Следовательно, весовая функция есть оригинал передаточной функции:

Получим оригинал преобразования переменной системы в общем виде. Пусть изображение входной переменной - х(s)

Используем теорему преобразования свертки (свойство преобразования) функций:

Пусть:

Получаем:

Следовательно:

Таким образом, оригинал данного преобразования в области изображений частное решение дифференциального уравнения, - то есть математическое описание вынужденного движение системы (движение вызванного воздействием при нулевых начальных условиях).

Определим изображение по Лапласу для переходной функции. Изображение ступенчатой единичной функции равно:

Тогда

Таким образом, если известна ПФ системы, то, обратное преобразование Лапласа выражения , дает переходную функцию. Если ПФ представляет отношение полиномов, то удобно применить метод разложения, приведенный выше.

Пропорциональное звено

Описывается передаточной функцией . Моделирует операцию масштабирования сигнала. Данное звено не вносит запаздывания в передачу информации. При преобразовании гармонического сигнала сдвиг по фазе равен нулю. ЛАХ представляет горизонтальную прямую параллельную оси частот. Вид переходной функции выходного сигнала такой же как и входного.

Интегрирующее звено

Звено моделирует операцию интегрирования входного сигнала:

Согласно теореме интегрирования преобразования Лапласа, получаем передаточную функцию звена:

Весовая функция звена:

Показывает, что звено обладает свойством «памяти».

Переходная функция:

Частотная ПФ:

АФЧХ совпадает с мнимой осью. При имеет разрыв.

Точная ЛАХ определяется прямой с наклоном – 1.

ФЧХ равна постоянному значению:

Характеристики динамики приведены на рис.

Дифференцирующее звено

Моделирует операцию идеального дифференцирования входного сигнала:

Согласно теореме дифференцирования преобразования Лапласа, получаем выражение для ПФ:

Переходная функция:

Частотная ПФ:

АФЧХ совпадает с мнимой осью. При имеет разрыв.

Точная ЛАХ отображается прямой линией с наклоном +1.

ФЧХ равна постоянному значению +90 .

Реальное дифференцирующее звено ( операция физического дифференцирования)

Имеет ПФ вида:

Т- постоянная времени ограничивающая уровень сигнала при частоте стремящейся к бесконечности. Характеристики динамики приведены на Рис.

Звено чистого запаздывания

Моделирует операцию сдвига во времени входного сигнала на постоянное значении равное .

Используя теорему сдвига преобразования Лапласа, получаем выражение для ПФ звена:

АФЧХ имеет вид окружности единичного радиуса.

С ростом частоты сдвиг по фазе неограниченно увеличивается.

Колебательное звено

Данное звено моделирует преобразование переменных в системе, описывающейся дифференциальным уравнением второго порядка, с характеристическим уравнением содержащим комплексные корни. Преобразование по Лапласу такого диф. уравнения приводит к передаточной функции стандартного вида:

;

Передаточная функция содержит комплексные корни в знаменателе

где

Т- постоянная времени звена;

- коэффициент демпфирования

Выполнение неравенства – признак существования комплексных корней и, следовательно, признак колебательного звена.

Переходная функция звена имеет вид:

Параметры переходной функции, согласно Рис..:

Перерегулирование

Время переходного процесса по уровню 2%

Время нарастания

Частотная ПФ:

АФЧХ охватывает два квадранта.

АЧХ имеет вид:

Выражение для точной ЛАХ:

Асимптотическая ЛАХ содержит две асимптоты:

-низкочастотная – совпадает с осью частот:

- высокочастотная – имеет наклон -2.

Сопрягающая частота

Существенная особенность ЛАХ- в области сопрягающей частоты асимптотическая характеристика может значительно отличаться от точной.

Параметры резонанса оцениваются значениями:

- на сопрягающей частоте:

На частоте резонанса

Выражение для ФЧХ, в связи с неоднозначностью функции «arctg» определяется двумя зависимостями:

- при изменении частоты в интервале от 0 до

- при изменении частоты в интервале от до бесконечности

Примеры.

Резонансный электрический фильтр (Рис )

Механическая система с упругим элементом

Сравнение параметров ПФ приводит к физическим аналогиям:

- момент инерции и индуктивность характеризуют способность к изменению состояния движения;

- трение и активное сопротивление характеризуют рассеяние энергии;

- емкость и упругость характеризуют способность аккумулировать энергию.

Консервативное звено

Можно рассматривать как частный случай ПФ колебательного звена при .

ПФ имеет вид:

Переходная функция:

Представляет гармоническую функцию. Колебания продолжаются бесконечное время с постоянной амплитудой (Рис.)

Соответствует системе, в которой отсутствует рассеяние энергии. В механике такие системы называют консервативными.

АФЧХ имеет разрыв на сопрягающей частоте. Резонансный пик равен бесконечности.

ФЧХ скачком изменяется на сопрягающей частоте с нулевого уровня на уровень .

Система, содержащая такое звено, находится на границе устойчивости.

Раздел 1. Математическое моделирование линейных непрерывных систем в классической теории управления

Лекция 1.1. Предмет науки, математический язык, основные понятия. Принципы регулирования.

Ее предмет – конкретные системы автоматического управления,

В частности, в конкретной области интересующей нас техники, примерами таких систем являются:

- радиолокационные и оптические локаторы ЛА ( автоматические визиры);

-системы наведения установок огневой защиты ЛА (системы стрелково-пушечного вооружения );

- системы управления движением беспилотных ЛА бортового оснащения ЛА

Основные понятия, используемые в автоматике.

Система.

12 3 4 5 Следующая ⇒