Характеристики динамики системы в области времени (переходная и импульсно-переходная функции).

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Для сравнения динамических свойств различных систем, или одной системы при различных параметрах, используются характеристики, представляющие их реакции на типовые воздействия.

Такими типовыми воздействиями являются:

- ступенчатая единичная функция;

-импульсная единичная функция.

Применение таких (быстроизменяющихся) воздействий позволяет сравнивать различные системы в наиболее острой динамической ситуации.

Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию, математически описывающуюся выражением:

Переходная функция обозначается . Рис.3.1.а.

Переходная функция широко используется при экспериментальных исследованиях динамики системы, а также при ее моделировании на ЭВМ. Она дает такие показатели процесса как: быстродействие, время затухания переходной реакции системы, перерегулирование.

При теоретическом исследовании процессов динамики используется импульсно-переходная функция.

Импульсно-переходной (или весовой) функцией называют реакцию системы на" ударное" импульсное воздействие, математически представляемое в виде мгновенного импульса бесконечно-большой амплитуды и описываемого -функцией Дирака (функция с локализованным на бесконечно-малом интервале бесконечно-большим значением):

Математически такая функция является пределом единичного ступенчатого импульса ( Рис.3.1.б):

при

Физическое представление о функции Дирака связано с поведением ускорения при ударе двух абсолютно твердых тел.

Импульсно-переходная функция в теории линейных систем играет важную роль при изучении реакции системы на воздействие произвольного вида. С этой ролью связано ее другое понятие - " весовая" функция.

Рассмотрим реакцию системы на непрерывное воздействие произвольного вида .

Предварительно укажем, что введение функции Дирака позволяет представить любое произвольное воздействие в виде бесконечно-большой суммы мгновенных импульсов. Покажем это.

Разобьем ось времени на интервалы равной длины с шагом Рис.3.2.

Поместим в начале координат единичный ступенчатый импульс . Выберем на оси времени середину некоторого " к" -го интервала и обозначим этот момент времени . Перенесем в данную точку на оси времени единичный ступенчатый импульс. Математически этот импульс опишется выражением:

. Импульс такой же продолжительности но с ординатой определится выражением:

Образуем такой импульс в каждом интервале. В результате получаем ступенчатую функцию апроксимирующую непрерывную исходную функцию. Данная функция полностью описывается выражением суммы последовательности вида:

При неограниченном уменьшении интервала ступенчатая функция преобразуется в гладкую функцию, а выражение для последовательности в интеграл вида:

Если рассматривать процесс в интервале времени от 0 доt, то последнее выражение перепишется в виде:

(Интеграл – бесконечно – большая сумма бесконечно-малых величин)

Таким образом, получено выражение, показывающее, что непрерывная функция времени представляется в виде бесконечно большой суммы мгновенных импульсов (бесконечно малых по продолжительности), с площадями равными значениям самой функции.

Функция Дирака дала возможность представить воздействие в виде суммы воздействий. Поскольку рассматривается линейная система, то можно воспользоваться принципом суперпозиции (реакция на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие - слагаемое). Поскольку реакция на мгновенный импульс определена, как импульсно-переходная функция , а значение ординаты играет роль масштабирующего множителя, то при нулевых начальных условиях и произвольном конечном времени наблюдения , получаем:

Здесь

момент времени наблюдения реакции(произвольный конечный момент времени);

любой момент времени предшествующий моменту наблюдения.

С точки зрения динамики данное выражение раскрывает роль импульсно-переходной функции в формировании реакции системы на произвольное воздействие для каждого момента наблюдения этой реакции.

Согласно данному выражению каждое значение воздействия в момент времени предшествующий моменту наблюдения(t) вносит свой вклад в значение реакции в момент наблюдения. Вес этого " вклада" определяется импульсно-переходной функцией, представляющей реакцию на данное значение воздействия, начинающуюся в момент времени и заканчивающуюся в момент времени t. На Рис.3.3. приведена иллюстрация данного явления.

Поскольку реакция не может возникнуть раньше воздействия

( связь причины и следствия), то справедливо равенство:

при .Это равенство выражает условие физической возможности существования системы.

При выполнении расчетов по формуле свертки целесообразно обратить время для весовой функции, перенеся ее начало в точку момента наблюдения Рис.3.4. В этом случае площадь под произведением двух функций равна значению реакции в момент времени

Лекция 1.3 Математическое моделирование системы управления на основе преобразования Лапласа. Структурная схема системы управления.

Для придания задаче проектирования физической осмысленности и наглядности применяют модели динамики в виде структурной схемы. Основой получения ее является переход от аргумента времени к комплексному аргументу преобразования Лапласа.

Данный переход осуществляется с помощью интегрального преобразования вида:

где

оригинал (функция времени)

изображение (функция комплексной переменной)

символ (сокращенное обозначение) преобразования Лапласа;

символ обратного преобразования Лапласа

Важно, что применение данного преобразования позволяет отобразить связь между переменными системы в области времени, выражаемую дифференциальным уравнением, - в алгебраическую зависимость между ними, что делает инструмент исследования динамики более гибким и удобным (алгебраические операции менее трудоемкими, чем операции в области времени).

Примечание

Основные свойства преобразования Лапласа.

1. Свойство линейности

2.Дифференцирование оригинала

при нулевых начальных условиях получаем:

3 Интегрирование оригинала при нулевых начальных условиях

4. Конечное значение оригинала

5. Преобразование свертки функций

6. Преобразование функции смещенной по времени

7. Изменение масштаба времени

8. Способ получения оригинала по изображению, представляющему дробно-рациональную функцию вида:

полином переменной « »

В результате разложения выражения на элементарные слагаемые получаем:

Для каждого слагаемого находится в таблице соответствия оригинал и производится их суммирование, например:

Передаточная функция

Вернемся к исходному дифференциальному уравнению.

Примем нулевые начальные условия (до момента включения система находилась в состоянии покоя) и проведем преобразование по Лапласу левой и правой части уравнения.

При нулевых начальных условиях связь между производной и ее изображением отображается теоремой дифференцирования в виде:

Применяя это выражение к уравнению, получаем:

Рассмотрим комплексную функцию, получаемую из данного уравнения при отношении изображений выходной и входной переменных:

Такая функция называется передаточной функцией (ПФ).

Если система описывается обыкновенным дифференциальным уравнением, то ПФ является дробно-рациональной алгебраической функцией комплексного аргумента " s".

Если в ПФ не проводилось сокращение одинаковых нулей (корни числителя комплексной функции)и полюсов (корни знаменателя), то данная ПФ полностью соответствует отображаемому дифференциальному уравнению и от нее всегда можно получить это уравнение. Применение ПФ позволяет получить алгебраическую связь между переменными системы

Графически такую связь можно изобразить в виде прямоугольника, внутри которого записано выражение для ПФ- на входе которого изображение по Лапласу входной переменной, а на выходе изображение по Лапласу выходной переменной.

Используя такую возможность, определим изображение импульсно-переходной функции, представляющей реакцию системы на мгновенный импульс.

Так как, изображение мгновенного импульса равно единице, то изображением импульсно-переходной функции, согласно полученной связи является передаточная функция системы:

Следовательно, весовая функция есть оригинал передаточной функции:

Получим оригинал преобразования переменной системы в общем виде. Пусть изображение входной переменной - х(s)

Используем теорему преобразования свертки (свойство преобразования) функций:

Пусть:

Получаем:

Следовательно:

Таким образом, оригинал данного преобразования в области изображений частное решение дифференциального уравнения, - то есть математическое описание вынужденного движение системы (движение вызванного воздействием при нулевых начальных условиях).

Определим изображение по Лапласу для переходной функции. Изображение ступенчатой единичной функции равно:

Тогда

Таким образом, если известна ПФ системы, то, обратное преобразование Лапласа выражения , дает переходную функцию. Если ПФ представляет отношение полиномов, то удобно применить метод разложения, приведенный выше.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒