Применение уравнений Навье-Стокса для задач нефотореалистичного рендеринга

Алгоритм

Интересное применение уравнениям гидродинамики было дано в [8]. Авторы предложили использовать уравнение «мелкой воды» для имитации различных техник рисования. Схема работы данного метода достаточно проста:

1. Изображение разбивается на отдельные области
2. Генерируется набор слоев для каждой области
3. Для каждого слоя отдельно от остальных запускается процесс имитации течения жидкости, который рассчитывает распределение пигмента
4. Для получения окончательного результата слои накладываются друг на друга с помощью модели Кубелки-Мунка

В качестве входных данных в этом процессе принимаются параметры, которые отражают физические свойства бумаги, пигментов и др. Также при имитации используется маска мокрых областей для определения границы области, где вода может растекаться свободно.

Моделирование поверхности бумаги

Анизотропность бумаги моделируется созданием в каждой точке случайным образом заданных определяющих направлений (волокон) с помощью шума Перлина, что позволяет достичь реалистичной симуляции наложения акварельных красок на бумагу. Движение жидкости в каждой точке потока описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса, сведенных к системе уравнений «мелкой воды».

Каждый слой имитируется с использованием 3х-уровневой модели:

• Уровень растекания воды (shallow-water layer), где вода с пигментом течет по поверхности бумаги по тем областям, которые помечены маской влажных участков. В процессе течения вода поднимает с поверхности бумаги пигмент и течет вместе с ним, перенося его на другое место. На этом уровне важны такие параметры, как скорость и давление воды, концентрация красителя и наклон (градиент высоты) бумаги.
• Уровень передвижения пигмента (pigment deposition layer), где пигмент осаждается на бумагу и всплывает обратно (по законам процессов адсорбции и десорбции)
• Капиллярный уровень (capillary layer), где вода впитывается в бумагу и распределяется в ней, происходит имитация движения воды по порам бумаги. Это позволяет маске влажных участков бумаги увеличиваться в размере.

 

 

Каждый пигмент перемещается между уровнем течения воды и уровнем перемещения пигмента посредством осаждения и всплытия. На осаждение и всплытие влияют свойства конкретного пигмента, такие как: густота (density), красящая способность (staining power) и уровень зернистости (granularity).

Функция капиллярного слоя состоит в том, чтобы позволять распространяться маске мокрой области благодаря капиллярному течению воды через поры бумаги. Существенные величины на этом слое – это:

• насыщенность водой бумаги, определяется как отношение объема воды к общему объему
• способность впитывания воды, определяется как объем воды, который еще может впитать бумага

Математическая модель

Движение жидкости в каждой точке потока полностью описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений Навье-Стокса (уравнений «мелкой воды»). В двумерном случае для несжимаемых жидкостей, эти уравнения могут быть записаны в следующем виде:

Рассмотрим условия, которым должно удовлетворять поведение воды для достижения реалистичного эффекта:

1. Течение должно быть ограничено так, чтобы вода оставалась в пределах маски мокрой области.
2. Избыток воды в какой-то области должен вызывать течение воды из этой области в соседние и приводить к равновесию концентраций.
3. Течение должно периодически ослабляться, чтобы не допустить колебательных волн.
4. Течение должно искажаться из-за неровностей бумаги, что вызывает появление прожилок, параллельных направлению течения.
5. Локальные изменения должны носить глобальный характер (например, добавление воды в некоторую область должно отразиться на всей имитации).
6. Должно быть течение воды по направлению к краям для достижения эффекта их затемнения.

Уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения «мелкой» воды. Решение этих уравнений дает необходимые значения вектора скорости (u, v). Данная система решается методом Эйлера.

Для численного решения использовалась следующая дискретная схема:

Перенос красителя на уровне растекания воды зависит от локальной скорости движения жидкости, которая рассчитывается на первом этапе имитации.

На каждом шаге какая-то часть красителя адсорбируется уровнем осаждения красителя, а другая путем десорбции возвращается обратно в раствор. Этот процесс описывается с помощью трех переменных: интенсивность адсорбции, интенсивность десорбции и грануляция. Последняя переменная определяет, как толщина и структура бумаги влияют на десорбцию красителя.

Маска влажных областей бумаги может медленно расширятся за счет присутствия внутри бумаги капиллярных потоков. В отличие от уровня растекания, здесь поток воды обусловлен капиллярными эффектами.

На каждом шаге должно быть выполнено уравнение неразрывности . С этой целью на каждом шаге выполняется процедура релаксации дивергенции, которая перераспределяет жидкость в соседние клетки до тех пор, пока дивергенция не станет меньше заданного значения ε.

Так как вычислительная сложность алгоритма весьма высока, а размер сетки для моделирования в данной задаче совпадает с размером обрабатываемого изображения, то скорость работы приложения была далека от интерактивной. Тем не менее, метод успешно себя зарекомендовал и был использован в киноиндустрии.

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. CПИСОК ТЕМ ДЛЯ РЕФЕРАТОВ, КУРСОВЫХ И ДИПЛОМНЫХ РАБОТ
2. D.3. Системы эконометрических уравнений
3. DOUBLE NEEDS PANG PANG ТУШЬ ДЛЯ РЕСНИЦ от TONY MOLY – 660 руб
4. E) для факторов - капитал и земля
5. I. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ
6. I. Цель и задачи духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся.
7. II. ТЕКСТЫ ДЛЯ РАБОТЫ НАД ГОЛОСОМ.
8. II. ЦЕЛИ, ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ЗАДАЧИ ПРОФСОЮЗА
9. III. Определите значимость для переводчика изучения особенностей литературного направления, к которому относится тот или иной автор.
10. III. Разделы, изученные ранее и необходимые для данного занятия (базисные знания)
11. III. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ, ОЖИДАЕМЫЙ РЕЗУЛЬТАТ
12. III. Цель, задачи развития территориального общественного самоуправления «Жуковский Актив»