Расчет цепи методом непосредственного применения законов Кирхгофа

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Определяем количество узлов y в схеме и обозначаем их буквами (у = 3), число ветвей в схеме пять (в = 5). Произвольно направляем и обозначаем ток в каждой ветви.

По первому закону Кирхгофа составляем уравнение

n_I = y-1 = 3-1 = 2. (2.1)

Число уравнений, которое необходимо составить по второму закону Кирхгофа,

n_II = в-n_I = 5-2 = 3. (2.2)

По законам Кирхгофа составляем систему уравнений

для узла а;

для узла в;

для I контура; (2.3)

для П контура;

для III контура.

В систему уравнений (2.3) подставляем численные значения и приводим к виду, удобному для решения на ЭВМ.

(2.4)

Выпишем матрицу коэффициентов и свободных членов системы для решения на ЭВМ.

(2.5)

Введя в ЭВМ матрицу (2.5) (см. инструкцию с. 36 ), получим следующие результаты: I_I = X_I = -16, 745 А; I₂ = Х₂ = 9, 941 А; I₃ = Х₃ = -6, 982 А;

I₄ = Х₄ = 9, 763 A; I₅ = 2, 956 А.

Отрицательные значения свидетельствуют о том, что действительное (положительное) направление токов I₁ и I₃, противоположное выбранному. На рис. 2.2 необходимо изменить направление этих токов и пунктирными линиями показать положительное направление токов во всех ветвях цепи.

Расчет цепи методом контурных токов

Рис. 2.3. Расчетная схема для МКТ

По методу контурных токов (МКТ) в заданной схеме (рис. 2.3) выделяем смежные контуры и указываем в них направления контурных токов I_I, I_II, I_III (для упрощения составления системы уравнений желательно направление всех контурных токов выбрать одинаковым, например, по часовой стрелке).

Запишем систему уравнений в общем виде через контурные токи по МКТ

Для данного примера: R_I= R₂ + R₅ = 5 + 17 = 22 Ом;

R_II= R₃ + R₄ + R₅ = 29 Ом; R_III = R₁ + R₄ = 6 + 2 = 8 ОM R_{I, II}= R₅ = 17 Ом; R_{II, III}= 2 Ом; R_{I, IV}= 0;

∑ E_I = -E₂ = -100 B; ∑ E_II = 0; ∑ E_III = -E₁ = -120 В

Подставим в систему уравнений (2.6) численные значения и

приведем ее к виду, удобному для решения на ЭВМ.

(2.7)

Введя в ЭВМ матрицу (2.8) системы уравнений (2.7) (см.

инструкцию с. 36 )

(2.8)

получим следующие результаты: I_I = -9, 941 A; I_II= -6, 982 А;

I_III = -16, 745 А.

По результатам видно, что все действительные направления контурных токов, обратные выбранным. Токи I_I, I₂, I₃, протекающие по внешним участкам цепи, будут иметь значения соответствующих контурных токов и направлены по действительному (положительному) их направлению. Покажем положительное направление контурных токов и токов в ветвях схемы рис. 2.3 (положительные направления контурных токов показаны пунктирами). Токи I₄ и I₅ направляются в сторону большего положительного контурного тока. На основании вышеизложенного I_I = I_III = 16, 745 A; I₂ = I_I = 9, 941 A; I₃ = I_II= 6, 982 A; I₄ = I_III - I_II = 16, 745 – 6, 982 = 9, 763 A; I₅ = I_I - I_II = 9, 941 – 6, 982 = 2, 959 A.

Расчет цепи методом наложения

Изобразим основную (рис. 2.4, а) и дополнительные схемы (см.рис. 2.4, б, в), в последних оставляем по одной эдс, а вторую эдс закорачиваем. На рис. 2.4, б, в обозначим положительные направления токов в ветвях.

Рис. 2.4. Расчетные схемы: а)-основная; б) и в) -дополнительные - для определения частичных токов

Рассчитаем частичные токи. Для схемы рис. 2.4, б:

По первому закону Кирхгофа для узла в

I′ ₃ = I′ ₁ - I′ ₄ = 15, 488 - 13, 536 - 1, 952 A.

Токи I₂ и I₅ обратно пропорциональны сопротивлениям этих ветвей и определяются так:

I′ ₂ =I′ ₃∙ = 1, 952 = 1, 508 A;

I′ ₅= I′ ₃∙ = 1, 952 = 0, 444 A.

Для схемы рис. 2.4, в

Переносим частичные токи схем рис. 2.4, б, в на основную расчетную схему рис. 2.4, а и по их направлению и значению определяем действительные токи основной схемы.

I_I = I′ _I + I″ _I= 15, 488 + 1, 257 = 16, 745 A;

I₂ = I′ ₂ + I″ ₂ = 1, 508 + 8, 432 = 9, 940 A;

I₃= I′ ₃ + I″ ₃ = 1, 952 + 5, 030 = 6, 982 A;

I₄ = I′ ₄ - I″ ₄= 13, 536 - 3, 773 = 9, 763 A;

I₅ = I″ ₅ - I′ ₅ = 3, 402 -0, 444 = 2, 958 A.

Токи I₄и I₅ находим вычитанием соответствующего меньшего тока от большего и направляем в сторону большего частичного тока. Примечание: При расчете частичных токов для расчетных цепей 3, 5, 8, 9, 11, 16, 17, 18, 19, 20, 26, 28, 29 нужно применять преобразования схемы " треугольник" сопротивлений в эквивалентную " звезду" сопротивлений по формулам

; ; ;

где R₁, R₂, R₃ - сопротивления " треугольника";

R₁₂, R₂₃, R₁₃- эквивалентные значения " звезды" сопротивлений.

Баланс мощностей цепи

Проверку результата расчетов можно выполнить по балансу мощности

где Ei, Ii, Ri - соответственно значения эдc, тока и сопротивления i-ой ветви; n - число ветвей с эдс; m - число ветвей цепи.

В уравнение баланса произведение Ei Ii включается со знаком " плюс", если эдс и ток источника совпадают; в противном случае этот член включается в левую часть уравнения со знаком " минус". Составим уравнение баланса мощности для рассчитываемой схемы (см. рис. 2.3):

16, 746 ∙ 120 + 9, 941 ∙ 100 = (I6, 746)² ∙ 6 + (9, 941)² ∙ 5 + (6, 982)² ∙ 10 + (9, 763)² ∙ 2 + (2, 959)² ∙ 17;

3003, 62 Вт = 3004, 65 Вт.

Относительная погрешность расчета

Допустимая относительная погрешность расчета 0, 5 %.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒