|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Понятие о цене информации в игре с природой
В игре с природой часто возникает возможность получения информации или уточнения данных о реализации состояний природы. Такая информация «предоставляется» не «бесплатно» – для ее получения необходимо затратить определенные усилия, вложить средства и т.п. Встает вопрос о максимальной «цене» такой информации. Сколько мы можем «заплатить» за информацию, чтобы выигрыш при обладании ей за вычетом платы за информацию был не меньше выигрыша без учета этой информации? При этом необходимо сравнивать, очевидно, случаи оптимального поведения при дополнительной информации и без нее. Проще всего данный вопрос осветить на примере игры с природой, имеющей частые повторения (партии) в одинаковых условиях. В этом случае для выбора оптимальной стратегии предпочтительно использовать критерий Байеса. В качестве примера рассмотрим следующую ситуацию. Коммерсант ежедневно возит молочную продукцию на своем автомобиле для продажи в дачном поселке. Он закупает молоко ящиками по 20 бутылок по мелкооптовой цене 20 рублей за бутылку и продает в розницу по 35 рублей за бутылку. За день может быть реализовано от 1 до 5 ящиков. Так как в автомобиле нет холодильника, то все нереализованное молоко портится и выбрасывается. По предварительным опросам дачников, коммерсант делает предположение о вероятностях спроса: спрос в 1 ящик имеет вероятность 10%, в 2 ящика – 20%, в 3 ящика – 30%, в 4 ящика – 30%, в 5 ящиков – 10% (для простоты рассмотрения будем считать, что ежедневно продается целое количество ящиков молока). Таким образом, ежедневно коммерсант должен принять решение, сколько ящиков молока закупить и привезти на продажу. Запишем матрицу игры с природой для этой задачи. Выигрышем будем считать прибыль, которую получит коммерсант в каждой ситуации. Строки матрицы будут соответствовать возможным стратегиям коммерсанта – купить 1, 2, 3, 4 или 5 ящиков. Столбцы будут соответствовать спросу на молоко: 1, 2, 3, 4 или 5 ящиков. Матрица игры с природой будет иметь представлена в табл. 5. Поясним, как получились значения в таблице. Как следует из условия, при покупке одного ящика коммерсант тратит 400 руб., а при продаже получает 700 руб. Таким образом, каждый проданный ящик приносит прибыль 300 руб., а каждый пропавший приносит убыток 400 руб. (то есть прибыль минус 400 руб.). Рассмотрим ситуацию, когда коммерсант привез 4 ящика. Если спрос равен 4 ящикам, то прибыль будет равна 1200 руб. При спросе 3 ящика прибыль составит 500 руб. Для спроса 2 ящика получаем убытки 200 руб. (результат игры равен – 200). Для спроса 1 ящик результат равен – 900 руб. Если же спрос равен 5 ящикам, то продается только 4, так как больше товара нет, и спрос остается неудовлетворенным. В этом случае, как и при спросе, равном 4, результат игры равен 1200 руб. Для других вариантов завоза результаты получаются аналогично. Таблица 5.
Если другой информации у коммерсанта нет, то ему лучше применять для выбора стратегии критерий Байеса – в этом случае он сможет оптимизировать среднюю прибыль и добиться наилучшего результата за многодневный период торговли.
Таким образом, лучше возить по 3 ящика молока. Тогда средняя дневная прибыль составит 620 рублей. Рассмотрим две возможности дополнительной информации: 1. Имеется возможность знать состояние природы перед каждой следующей партией в игре. В данном случае – знать спрос на следующий день (например, можно провести мониторинг спроса на следующий день, организовать продажи по записи и т.п.). 2. Имеется возможность уточнить значения вероятностей состояний природы (например, собрать информацию об аналогичных объектах, провести подробное изучение спроса и т.п.). Описанные возможности требуют дополнительных затрат средств и времени. Каковы максимально допустимые удельные затраты (затраты в пересчете на один день торговли)? Изучим первую возможность. Если коммерсант будет точно знать спрос на следующий день, то он привезет оптимально количество молока – ровно столько ящиков, сколько будет закуплено. При этом прибыль составит по 300 руб. с 1 ящика, 600 руб. с 2-х, 900 руб. с 3-х, 1200 руб. с 4-х и 1500 руб. с 5-ти ящиков. Так как знание спроса не влияет на частоту его реализации, то 1 ящик он будет возить 10% дней, 2 ящика – 20%, 3 ящика – 30%, 4 ящика – 30% и 5 ящиков – 10%. В итоге коммерсант получит среднюю прибыль, равную:
Таким образом, владея информацией о спросе, коммерсант увеличил свою среднюю прибыль на 310 руб. в день. Именно это и есть удельная стоимость точной информации о спросе. Важно заметить, что в результате получения информации коммерсант принципиально поменял свою деятельность: вместо ежедневного завоза по 3 ящика молока он должен возить различное количество, строго определенное дополнительной информацией. Изучим второй вид дополнительной информации. Представим, что у коммерсанта имеется противоречивая информация о вероятностях спроса. Первая версия описана выше (0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 3; 0, 1). По второй версии спрос равновероятен, то есть вероятность спроса равна 0, 2 для всех вариантов. Третьи источники утверждают, что спрос в 1, 2, 3, 4 и 5 ящиков имеет вероятности соответственно 0, 1; 0, 1; 0, 1; 0, 4; 0, 3. Если мы можем провести серию мероприятий по уточнению этой информации, то какова максимальная удельная стоимость таких мероприятий? Оптимальный выбор стратегии при первом варианте мы уже сделали – нужно возить по 3 ящика и получим в среднем 620 руб. в день. Для второго варианта вероятностей:
Несмотря на то, что среднее значение прибыли заметно изменилось, выбор стратегии не поменялся. Можно сделать вывод, что уточнение между первым и вторым вариантами вероятностей состояний ничего не стоит. (Это справедливо лишь для поставленной цели определения количества завозимого ежедневно молока. Если же главной целью является оценка рентабельности бизнеса, то цена такой информации может быть совсем ненулевой. Подумайте, почему? ). Для третьего варианта вероятностей:
В данном случае лучше возить по 4 ящика молока и получим в среднем 780 руб. в день прибыли. То есть такая информация побуждает нас сменить решение. Однако посмотрим, сколько же стоит информация с учетом «разумности» нашего поведения при потенциальной возможности первого или третьего вариантов распределения. Предполагая возможность всех вариантов распределения (а не точную уверенность в одном из них), коммерсант находится в дилемме выбора между 3 и 4 ящиками. Выбрав 4 ящика, в первом случае он получит 500 руб. в день вместо 620 (потеря 120 руб.). Во втором случае он получит 360 руб. вместо 480 (потеря 120 руб.). Выбрав же 3 ящика при третьей возможности вероятностей, он получит 710 руб. вместо 780 (потеря 70 руб.). Таким образом, минимальная потеря достигается выбором 3 ящиков и равна 70 рублям. Это и есть максимальная удельная цена данного уточнения. Интересно заметить, что оценивая разные варианты, мы фактически применили критерий Сэвиджа к новой матричной игре, в которой состояниями природы являются уже варианты распределения вероятностей, а результатами – средние результаты при данных вероятностях: Таблица 6.
Максимальная удельная стоимость информации в таком случае оказалась равна минимаксу матрицы рисков для такой игры:
Заметим, что все приведенные рассуждения справедливы в предположении, что уточняя информацию о вероятностях, мы получим один из известных вариантов распределения. Таким образом, выбирая решение без точной информации, мы все же учитывали ее потенциальные возможности. Получение же неожиданного нового варианта распределения считалось невозможным. Оценка стоимости информации о вероятностях состояний природы без фиксации предварительных вариантов – гораздо более сложная задача. В общем случае можно определить стоимость информации так: стоимость точной информации не может превышать разницу выигрышей, полученную за счет изменения стратегии в результате обладания данной информацией относительно лучшего варианта стратегии при рассмотрении всех возможных вариантов как потенциально реализуемых. Задание для самостоятельного решения Числовые условия задания формируются на основе двух последних цифр зачетной книжки или студенческого билета. Выполнение чужого варианта задания не допускается. В задачах данной темы:
Задание Фирма поставляет на рынок новинки видеозаписей. Себестоимость одного диска (диск, работа, лицензионные отчисления) равна 1. Определить оптимальную стратегию поведения фирмы для оптимизации прибыли. Имеет ли смысл делать скидку на фильмы? 2. Определить, какова максимальная стоимость информации о реальном спросе на конкретную видеозапись? Имеет ли смысл делать скидку в этом случае? Подсказка: предложения со скидкой и без нее рассмотреть как отдельные возможные стратегии статистика с зависящими от них вероятностями состояний природы.
ТЕМА 2. Основные понятия критериальных методов Одним из вариантов ситуации принятия решения является так называемая критериальная постановка. В этом случае лицо, принимающее решение (ЛПР), выбирает лучшие из альтернатив для достижения определенной цели. Но соответствие цели оценивается не непосредственно, а путем удовлетворения набору критериев, обладанием рядом свойств. Наиболее известными примерами выбора решений в рассмотренной постановке являются: · выбор автомобиля, мобильного телефона, мебели и т.п.; · выбор сотового оператора; · выбор места для отдыха; · выбор варианта инвестирования средств; · найм сотрудника; · выбор исполнителя работ. Невозможно назвать «лучший» автомобиль. Во-первых, важно, какую цель мы преследуем при его покупке. Но и в этом случае все неоднозначно, доказательством чему является огромное количество разных производимых и продаваемых автомобилей всех категорий. Например «лучшего автомобиля для семейного пользования» нет – кроме характеристик, следующих непосредственно из цели использования (габариты, число мест и т.п.), имеются общие характеристики (экономичность, безопасность и т.п.), характеристики экономического характера (цена, доступность на рынке и т.п.), индивидуальные предпочтения (цвет, стиль и т.п.) и другие характеристики. В описанных ситуациях как правило можно выделить группу наиболее интересных альтернатив (подходящих по цене, удовлетворяющих большинству запросов и т.п.). Окончательный выбор из этой группы оказывается более затруднительным. Если лицо, принимающее решение, – один человек, то можно понадеяться решить проблему волевым методом. Хотя не каждому удается сделать это быстро, уверенно и без лишних психологических потрясений (как не вспомнить печальный пример Буриданова осла J). В случае же коллективного принятия решения группой лиц ситуация еще больше осложняется (вспомните выбор семейного отдыха в семье Дяди Федора из произведений Э.Успенского). Для получения обоснованного «лучшего» решения применяют критериальные методы или методы критериального анализа иерархий. Для названных случаев гораздо проще сравнивать альтернативы между собой не с точки зрения достижения цели, а с точки зрения удовлетворения конкретным критериям (спорное сравнение автомобилей «какой лучше для семейных поездок» превращается в более простое сравнение по цене, комфорту, экономичности, цвету и т.п.). Кроме того необходимо сравнить между собой значимость критериев для конкретной цели.
Таким образом, возникает иерархичность – альтернативы обладают критериями, критерии определяют степень соответствия цели (рис. 1). Рис. 1. Иерархическая структура ситуации принятия решения Как правило имеются два уровня иерархии. В некоторых случаях возникают более сложные иерархии, как правило, когда критерии являются сложными, комплексными. В 1970 г. Томас Саати (США) разработал метод анализа иерархий (Analityc hierarchy process). Кроме метода Саати существует множество других методов анализа подобных проблем. Однако именно этот метод получил широкое распространение и до сих пор активно используется в управленческой практике. Критики метода приводят в качестве аргументов математическую неточность ряда моментов и возможность математических противоречий на этапах применения метода, отсутствие фильтрации противоречивых суждений. Однако это же является и достоинствами метода, ибо сам факт принятия решения, выбора «лучшего» и т.п. – часто противоречивая ситуация. Метод Саати приводит ЛПР не к «правильному» решению, а к варианту, наилучшим образом согласующемуся с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Таким образом, этот метод позволяет получить объективные математические соотношения между альтернативами на основе субъективного взгляда на ситуацию лица, принимающего решение. Метод Саати Основа метода Саати – попарные сравнения альтернатив по каждому из критериев и попарное сравнение критериев с точки зрения важности для поставленной цели. Таким образом, все сравнения в данном методе производятся попарно, – то есть самым простым и очевидным методом. Например: какой автомобиль комфортнее, «Мерседес» или «Запорожец»? Для сравнения Саати предложил использовать качественные признаки, переводимые потом в количественные по 9-ти балльной шкале (табл. 1). Таблица 1.
Третий и четвертый столбик таблицы 1 соответствуют первому и второму для смены сравниваемых объектов. Например, если «Запорожец» принципиально лучше по критерию цена, чем «Мерседес», то «Мерседес» принципиально хуже «Запорожца» по этому критерию. В случае, если ЛПР не может определиться между двумя качественными признаками, наличии промежуточного мнения, Саати рекомендует использовать промежуточные баллы 2, 4, 6, 8. Определение указанных вариантов сравнения может быть осуществлено многими способами: по субъективному мнению, по экспертной оценке, путем голосования и др. Заметим опять же субъективный подход в сравнении. Даже для критериев, имеющих четкое числовое выражение (цена, площадь и т.п.), в методике Саати нужно выбрать качественное сравнение и только потом количественное. И этому тоже есть объяснение – с качественной точки зрения соотношение между альтернативами не всегда соответствует соотношению их количественных признаков. Рассмотрим в качестве примера варианты ремонта автомобиля за счет страховых средств, ограниченных суммой 120 тыс. руб. Вся экономия остается у страховой компании, а излишки оплачиваются самостоятельно. В этом случае по критерию цена два варианта ремонта за 30 тыс. руб. и за 120 тыс. руб. практически одинаковы, а вариант за 150 тыс. руб. уже принципиально хуже. Другим специфическим фактором является ограничение численных аналогов числом 9. Несмотря на возможность более чем 9-кратного превышения одного объекта над другим по какому-либо критерию, такой шкалы, как правило, достаточно, чтобы отразить качественное соотношение. Запишем план или этапы применения метода Саати. 1. Выделение проблемы. Определение цели. 2. Выделение основных критериев, обуславливающих достижение цели. 3. Выделение группы альтернатив, представляющих наибольший интерес. 4. Построение иерархии: дерево от цели через критерии к альтернативам. 5. Построение матрицы попарных сравнений критериев по цели. 6. Построение матриц попарных сравнений альтернатив по критериям. 7. Применение методики анализа полученных матриц. 8. Определение весов альтернатив по системе иерархии. Продемонстрируем применение метода Саати по пунктам плана на примере. Пример. Организации, осуществляющей частое сопровождение договоров в другом городе, требуется купить квартиру там для проживания командированных сотрудников. Возможны поездки сотрудников разного пола. Возможно пребывание на квартире одновременно сотрудников разного ранга. Стоимость проезда по городу пребывания достаточно велика. На квартире сотрудники бывают в основном только в ночное время. 1. Выделение проблемы. Определение цели. Цель – квартира для временного проживания сотрудников при частых командировках. 2. Выделение основных критериев, обуславливающих достижение цели. После коллективного обсуждения на совете директоров определены следующие критерии: · цена; · размер; · количество комнат; · близость к работе; · категория дома. 3. Выделение группы альтернатив, представляющих наибольший интерес. После анализа предложений на рынке недвижимости выделены три наиболее интересных варианта: · Квартира 1; · Квартира 2; · Квартира 3. 4. Построение иерархии: дерево от цели через критерии к альтернативам.
Дерево иерархии представлено на рис. 2. В ряде случаев выполнение этого пункта плана не обязательно. Тем не менее, дерево иерархий дает наглядное представление ситуации принятия решения и позволяет избежать некоторых ошибок при ее анализе. Рис. 2. Дерево иерархии для примера выбора рабочей квартиры 5. Построение матрицы попарных сравнений критериев по цели. Путем коллективного обсуждения и, при необходимости, голосования сравниваются между собой критерии с точки зрения соответствия цели: · цена квартиры немного важнее размера; · цена квартиры и количество комнат одинаково важны; · цена квартиры и близость к месту работы важны одинаково, а по некоторым мнениям цена немного менее значима; · цена важнее категории дома; · размер менее важен или немного менее важен, чем количество комнат; · размер заметно менее важен, чем близость к работе; · размер квартиры и ее категория одинаково важны или размер немного важнее; · количество комнат и близость к работе одинаково важны; · количество комнат важнее или даже значительно важнее, чем категория дома; · близость квартиры к работе значительно или принципиально важнее категории дома. Составляется таблица качественного сравнения критериев (табл. 2). сравнения взаимны, то достаточно составить только ее часть, расположенную над главной диагональю: Таблица 2.
На основе таблицы качественного сравнения по таблице 1 строится таблица – матрица баллов (табл. 3). Под главной диагональю записываются числа, обратные к соответствующим числам над диагональю: Таблица 3.
6. Построение матриц попарных сравнений альтернатив по критериям. Аналогично пункту 5 строятся матрицы сравнения отдельных альтернатив по каждому из критериев. Опустим подробное изложение всех операций и приведем ниже только матрицы количественных баллов (табл. 4 – 8): Таблица 4.
Таблица 5.
Таблица 6.
Таблица 7.
Таблица 8.
7. Применение методики анализа полученных матриц. С каждой из полученных матриц применяем последовательность действий, описанных ниже. (Все действия продемонстрируем на матрице сравнения критериев. С матрицами сравнения альтернатив все операции выполняются аналогично). 7.1. Проводим нормировку матрицы: · находим сумму элементов каждого столбца · делим все элементы матрицы на сумму элементов соответствующего столбца Таблица 9.
Таблица 10.
7.2. Определяем веса строк. Для этого просто определяем среднее значение в каждой строке последней из полученных матриц (см. табл. 11). Таблица 11.
Полученный в итоге столбец задает веса строк матрицы, – в данном случае – веса критериев с точки зрения поставленной цели. Этот столбец называют весовым столбцом критериев по цели (см. табл. 12). Таблица 12.
7.3. Промежуточные выводы. С точки зрения удовлетворения нашей цели наиболее весомым является близость квартиры к месту работы (38, 4%), далее следует количество комнат (28, 2%), потом идет цена (22, 4%). Размер и категория квартиры имеют наименьшие весовые коэффициенты, в сумме составляющие всего 11%. В некоторых случаях для упрощения анализа критерии, имеющие вес ниже заданного, могут быть исключены из рассмотрения. Действия 7.1 – 7.3 повторяем для всех матриц попарного сравнения альтернатив по критериям. Получаем следующие результаты (табл. 13 – 17): Таблица 13.
Таблица 14.
Таблица 15.
Таблица 16.
Таблица 17.
8. Определение весов альтернатив по системе иерархии. 8.1. Столбцы весов в долях альтернатив по критериям объединяем в общую матрицу весов альтернатив по всем критериям (табл. 18). Таблица 18.
8.2. Умножаем полученную матрицу на столбец весов критериев по цели матрично (по правилу строка на столбец):
В результате получаем веса альтернатив с точки зрения достижения поставленной цели (табл. 19). Как следует из таблицы, Квартира 2 является наиболее привлекательной для поставленной цели. Если же мы будем приобретать две квартиры, то это будут квартиры 2 и 1. Заметим, что веса альтернатив оказались достаточно близки друг к другу. Это говорит о разумном выделении всех трех квартир как объектов детального рассмотрения и анализа. Таблица 19.
Важное замечание. Таблицы весовых коэффициентов критериев по цели (табл. 12) и весов альтернатив по всем критериям (табл. 18) в некоторых случаях имеют собственную ценность. Например, в нашем случае, вектор весов критериев может использоваться многократно для разных городов. Кроме того, из него можно сделать вывод о малой важности критериев «размер» и «категория» и исключить их из рассмотрения. В других случаях неоднократно можно использовать матрицу весов альтернатив по критериям. Примером может служить составление таблицы весов подрядчиков по критериям выполнения определенных видов работ. При получении конкретного объекта и определении важности видов работ на нем можно будет подобрать оптимального подрядчика используя же существующую таблицу. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 1167; Нарушение авторского права страницы
руб.
; 
; 
; 
– последняя цифра номера зачетной книжки; 
– предпоследняя цифра номера зачетной книжки.
рублей. В первую неделю продаж диск позиционируется как новинка и продается в собственном магазине по цене 
руб. за штуку. Со второй недели цена дисков резко падает и они передаются в торговые сети по остаточной стоимости 40 руб. за диск. Директор фирмы знает, что за первую неделю возможно продать от 2 до 4 коробок с дисками по 500 штук в каждой. Вероятность спроса равна 30% для 2 коробок, 50% для 3 коробок и 20% для 4 коробок. Если сделать скидку на диски, равную 
%, то вероятность спроса поменяется и будет равна 20% для 2 коробок, 40% для 3 коробок и 40% для 4 коробок.
. На диагонали всегда ставятся единицы так как одинаковые критерии равны между собой: 
(см. табл. 9); 
(см. табл. 10).