Решение МКЗ с помощью сверстки

Квадратичная свертка

При решении практических задач ЛПР, как правило, ранжирует критерии в соответствии со своими предпочтениями. В этом случае в качестве интегрального критерия используются различные виды сверток

, – линейная свертка,

здесь x – альтернатива из множества W;

f_i (x) – оценка альтернативы x по i-му критерию;

с_i – весовые коэффициенты, с которыми оценки альтернатив входят в интегральный критерий. с_i – коэффициенты значимости, или коэффициенты относительной важности критериев.

Коэффициенты с_i можно найти, например, из специально организованной экспертизы: m экспертов должны расставить (ранжировать) критерии по важности: ранг 1 присвоить самому важному критерию и т.д. Пусть r_ij – ранг, который присвоил j-ый экперт i-му критерию. Чтобы получить числовую оценку, введем новый коэффициент

.

Тогда коэффициент значимости i-го критерия с точки зрения j-го эксперта:

.

Обобщенные коэффициенты получим, усреднив оценки экспертов.

Пусть g_j – компетентность j-го эксперта, тогда

.

Еще один метод назначения коэффициентов относительной важности основан на внесении предпочтений во множество критериев. Он состоит в следующем.

Пусть удается количественно выразить отношения предпочтения между критериями: критерий f_i предпочтительнее критерия f_j в h раз: . Тогда коэффициенты относительной важности этих критериев связаны между собой линейным уравнением C_i=hC_j. Это следует из теоремы:

Th. Если , то C_i=hC_j, C_i> 0, å C_i=1.

Решая систему линейных уравнений, получим искомые коэффициенты.

Пример. Пусть варианты некоторой системы оцениваются по четырем критериям с пятибалльной шкалой. Значения критериев f_i(х) даны в табл.13.

Пусть известно, что , f₂~ f₃, .

Решение. Составим систему линейных уравнений для определения коэффициентов C_i:

C₁=1, 5C₂; C₂=C₃; C₃=C₄; C₁+C₂+C₃+C₄=1;

Отсюда следует, что C₁=3/8; C₂=2/8; C₃=2/8; C₄=1/8.

В табл. 13 приведены значения интегрального критерия « Линейная свертка ».

Таблица 13

Оценки вариантов по критериям

	f1 f2 f3 f4
Х1 Х2 Х3 Х4 Х5 Х6	2 5 4 5 5 3 4 3 3 2 5 5 4 3 4 4 3 4 4 4 4 3 3 4	3/8*2+2/8*5+2/8*4+1/8*5=29/8 32/8 28/8 30/8 29/8 28/8

По этому критерию лучшая альтернатива – Х₂.

Задачи, в которых выполняются условия для использования линейной свертки, часто встречаются в практике. Это задачи, связанные с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цикла экономических информационных систем и т. п., т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой.

Свертка может быть не только линейной, но и квадратичной:

,

сверткой порядка t:

,

Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других. Чем больше значение t, тем больше степень возможной компенсации.

Например, при , т.е. когда недопустима никакая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев (равномерное «подтягивание» значение всех критериев к их наилучшему уровню), интегральный критерий приобретает вид

.

Если t→ 0, т.е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то интегральный критерий имеет вид

– мультипликативная функция.

При t=1 имеем линейную свертку, при t=2 – квадратичную.

В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима компенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, т.е. , тогда интегральный критерий можно использовать в виде

.

Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей ту альтернативу, для которой F(x) имеет максимальное значение.