Применение классических критериев

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Рассмотрим следующий пример 3. Пусть некоторый объект надо подвергнуть проверке с приостановкой его эксплуатации. Из-за этого приостанавливается выпуск продукции. Если же своевременно не обнаружить неисправность, то это приведет не только к приостановке работы, но и к поломке.

Варианты решения: Х₁- полная проверка;

Х₂- минимальная проверка;

Х₃- отказ от проверки.

Состояния a_j: a₁- неисправностей нет;

a₂- имеется незначительная неисправность;

a₃- имеется серьезная неисправность.

Результаты f_ij включают:

1) затраты на проверки и устранение неисправностей;

2) затраты, связанные с потерями в выпуске продукции и с поломкой.

Рассмотрим минимаксный (ММ), критерий Сэвиджа (S) и BL-критерии. Для последнего критерия примем, что все состояния в данном примере равновероятны (p₁=p₂=p₃=1/3).

Таблица 6

Матрица результатов для примера 3

	a₁	a₂	a₃		Z_mm
Х₁	-20	-22	-25	-25	-25	-22.33
Х₂	-14	-23	-31	-31		-22.67
Х₃		-24	-40	-40		-21.33	-21.33

Рассмотрим S-критерий:

Таблица 7

Матрица остатков для примера 3

	a₁	a₂	a₃
Х₁
Х₂
Х₃

Как видим, каждый критерий предлагает свое решение. Чтобы выбрать, какому же критерию следовать, лучше всего получить дополнительную информацию о ситуации.

Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться критерия BL (есть хоть какая-то информация о внешних условиях).

Если же число реализаций невелико, то больший вес принимают более осторожные рекомендации критерия Сэвиджа (S) или минимаксного (ММ).

Пусть p₁=p₂, а p₃=0.5 (серьезная неисправность в 2 раза чаще), тогда для BL:

f_ir =( -23, -25, -26) и BL тоже рекомендует полную проверку (Х₁).

В рассмотренных случаях нельзя выделить доминирующий вариант, для которого при всех внешних условиях результаты лучше, чем для других. Поэтому в каждом частном случае следует очень тщательно обосновывать позицию лица, принимающего решение.

Вариант 10.Однородная школа оценок

Перевод в однородную шкалу

fi*(x) - оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале

fimax и fimin - максимальное и минимальное значения альтернатив по i-му критерию

Вариант 11, 23 Минимаксный критерий

ММ-критерий отражает позицию крайней осторожности, или крайнего пессимизма.

Оценочная функция ММ-критерия:

Оценочная функция - это результат, соответствующий лучшей альтернативе.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием:

Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов f_ir любой строки. Выбрать следует те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения f_ir этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Т.е. нельзя столкнуться с результатом хуже, чем max f_ir, какие бы условия a_j ни встретились. Поэтому ММ-критерий считается одним из фундаментальных, в технических задачах он применяется чаще всего.

Однако нежелание рисковать приводит к различным потерям.

Рассмотрим пример 2. Пусть есть две альтернативы (табл.3):

Таблица 3

Матрица решений примера 2

	a₁	a₂	a₃	f_ir
Х₁
Х₂	1.1	1.1	1.1	1.1

Х₁ вроде бы более выгодная, однако согласно ММ оптимальной считается Х₂.

Потери будут еще больше, если:

1) a₂реализуется чаще, чем a₁, и

2) решение реализуется многократно, - т.е. в многочисленных практических ситуациях пессимизм ММ-критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия оправдано, если:

- о возможности появления внешних состояний a_j ничего не известно;

- приходится считаться с появлением различных внешних состояний a_j;

- решение реализуется один раз;

- необходимо исключить какой бы то ни было риск.

Вариант12. Критерий БАйеса-Лапласа

Все рассмотренные выше критерии используются в условиях полной неопределенности, т.е. в условиях, когда ничего не известно о вероятностях наступления внешних событий. Как правило, если в этих условиях выбор затруднен, ЛПР ничего не остается, как искать дополнительную информацию. Такой дополнительной информацией может быть, например, информация о вероятности аналогичных исходов в прошлом или оцененная по результатам экспертных опросов возможность наступления того или иного внешнего события. Главное, чтобы рассматриваемые события составляли полную группу.

Пусть p_j - вероятность появления внешнего состояния a_j, .

В отличие от рассмотренных ранее критериев критерий BL учитывает все возможные последствия каждой альтернативы.

Тогда для BL-критерия:

и , т.е.

Правило выбора: Матрица решений дополняется еще одним столбцом, содержащим математические ожидания результатов каждой строки. Выбираются те варианты х_i, в строках которых стоит наибольшее значение f_ir этого столбца.

Критерий Байеса-Лапласа используется, если:

- вероятности появления состояний a_j известны и не зависят от времени;

- решение реализуется бесконечно (теоретически) много раз;

- для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск.

При достаточно большом количестве реализаций значение постепенно стабилизируется. Поэтому риск практически стремится к нулю.

Исходная позиция ЛПР, применяющего критерий BL, оптимистичнее, чем при минимаксном критерии, однако предполагает более высокий уровень информированности и достаточно много реализаций.

Вариант 13. Критерий Сэвиджа

Это критерий относительного пессимизма, который оперирует понятием риска, или остатка:

- разница между максимальным значением j-го столбца и результатом в данном столбце, соответствующим i-ой альтернативе. В столбец вектора результатов записывается максимальное значение риска для каждой альтернативы:

Оценочная функция выбирается как минимальное значение риска среди всех альтернатив

Здесь трактуется как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии a_j вместо варианта х_i выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант. Или как потери от замены оптимального для a_j состояния варианта на вариант х_i. Затем эти максимально возможные потери минимизируются.

Правило выбора: Любой элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата соответствующего столбца. Разности D_ij образуют матрицу остатков . Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей . Выбирается вариант, где стоит наименьшее для этого столбца значение.

Требования к применению S-критерия те же, что и для ММ.

Вернемся к примеру 1. Дополним матрицурешений столбцами для векторов результатов.

Таблица 4

Выбор оптимальной альтернативы в примере 1

	НС	СС	ВС	f_MM
Х₁
Х₂				70
Х₃	-20			-20

Для ММ-критерия выбираем из каждой строки минимальное значение результата. Лучшая альтернатива – х₁, ей соответствует максимальное значение компоненты вектора результатов.

Для применения критерия Сэвиджа надо построить матрицу рисков, или остатков.

Для этого из мксимального результата каждого столбца вычтем соответствующее значение результата из матрицы решений. В вектор результатов матрицы остатков выносится максимальное значение строки. Лучшей альтернативе соответствует минимальное значение максимального риска, связанного с каждой альтернативой.

Таблица 5

Матрица остатков в примере 1

	НС	СС	ВС	Δ _S
Х₁				100
Х₂
Х₃				120

С точки зрения критерия Сэвиджа лучшая альтернатива – х₂, ей соответствует минимальный риск.

Вариант 14. Критерий ГУрвица

Критерий используется в условиях полной неопределенности. Это позиция компромисса, но максимально уравновешенная: ,

, 0£ с£ 1,

Правило выбора: Матрица решений дополняется столбцом, содержащим

средневзвешенную сумму наименьшего и наибольшего результатов для любой строки. Выбираются те варианты, где стоят наибольшие значения f_ir этого столбца.

При с=1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий и отражает позицию крайнего пессимизма, при с=0 - позиция предельного оптимизма, или азартного игрока.

Выбрать множитель с так же трудно, как и сам критерий. Поэтому чаще всего применяют с=0.5 (средняя точка зрения). Однако следующий пример показывает, что этот критерий может оказаться невыгодным:

Таблица 8

⇐ Предыдущая 1 2 3 45