Постановка многокритериальной задачи

В случае многокритериальной постановки задача принятия решения имеет следующий вид:

(W, {f_i}_n, {ý, ~}),

где {f_i}_n - n целевых функций f_i, каждая из которых сформулирована в виде f_i(х)®max; ý - отношение предпочтения; ~ - отношение эквивалентности.

Однако не любая задача принятия решения является многокритериальной, т.к. цели могут находиться друг с другом в различных отношениях:

1) цели могут быть взаимно нейтральны – в этом случае задача по отношению к отдельным целям рассматривается независимо;

2) цели кооперируются, тогда достижение одной цели одновременно приводит к достижению других;

3) цели конкурируют – одной цели можно достичь только за счет другой.

В первом случае задача может быть решена, например, таким способом.

Критерии ранжируются по важности: самому значимому присваивается ранг, равный 1, следующему по важности - ранг 2 и т.д. Из исходного множества альтернатив выбираются альтернативы, удовлетворяющие цели первого ранга

, xЄΩ;

при этом альтернативы, оценки которых по первому критерию можно считать достаточно высокими, образуют множество Ω ₁.

Затем из вновь полученного множества Ω ₁ отбираются альтернативы, наилучшие с точки зрения критерия второго ранга

и т.д.

Может оказаться, что после последней оптимизационной процедуры останется несколько альтернатив. Но, поскольку все они эквивалентны с точки зрения наименее значимого критерия, то ЛПР может выбрать любую из них.

Во втором случае задача также решается как однокритериальная для одной из кооперирующихся целей - остальные в этом случае достигаются одновременно.

И только в третьем случае мы имеем действительно многокритериальную задачу (МКЗ), решить которую можно, только найдя определенный компромисс между критериями.

Таким образом, механизм ситуации «Неопределенность целей» состоит в том, что трудно осуществить выбор, когда одни альтернативы лучше по одним критериям, другие – по другим. Задача состоит в том, чтобы разрешить эту неопределенность и найти лучшее по совокупности критериев решение.

МКЗ может быть решена с использованием следующего алгоритма:

· на первом шаге необходимо уменьшить исходное множество альтернатив, убрав заведомо худшие;

· на втором - свести задачу к однокритериальной путем введения интегрального критерия, т.е. построить интегральную оценку каждой альтернативы, используя ее оценки по каждому из критериев, что позволяет сравнивать альтернативы и находить наилучшую с точки зрения этого интегрального критерия.

Вариант 6, 17 Множество парето (9? )

Принцип парето

Пусть x1 и x2 – альтернативы.

Если для i fi(x1) ³ fi(x2), причем хотя бы одно неравенство строгое,

то x1fx2,

и альтернативу х2 можно исключить из рассмотрения

Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето -

множество неулучшаемых альтернатив, или

множество несравнимых альтернатив,

или таких,

улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим

Возможные решения следует искать лишь среди неулучшаемых альтернатив

Все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в смысле этого принципа, т.е. являются паретооптимальными

Основным недостатком таких решений является их множественность

из методы

Рассмотрим принцип, с помощью которого можно уменьшить исходное множество альтернатив. Этот принцип в начале ХХ века разработал итальянский математик, социолог и экономист В. Парето. С тех пор этот принцип называют принципом Парето. Смысл его состоит в следующем. В многокритериальной задаче оценка альтернативы является векторной оценкой:

j(х)=(j₁(х), j₂(х), …, j_n(x)),

j_i(х) - оценка альтернативы х по i-му критерию.

Возьмем две альтернативы - х₁ и х₂. Если все оценки j_i(х₁)³ j_i(х₂), причем хотя бы одно неравенство строгое, то альтернатива x₁ предпочтительнее альтернативы х₂ - х1ý х2, - и тогда альтернативу х₂ можно исключить из рассмотрения.

Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето (множество неулучшаемых альтернатив), т.е. альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим, или множество неулучшаемых альтернатив.

Поле полезности решений

Векторная оценка альтернативы по n критериям аналогична заданию альтернативы в виде точки в некотором пространстве. Такое пространство называют критериальным.

В критериальном пространстве все альтернативы будут заданы точками, проекции которых на оси являются оценками альтернатив по соответствующим критериям.

Рассмотрим пример (рис.3). Здесь крестиками помечены возможные альтернативы. Отметим область, ограниченную минимальными и максимальными значениями критериев - это поле полезности решений, на рис.3 оно выделено красным прямоугольником. Все альтернативы лежат внутри этой области. Правая верхняя точка этой области называется утопической точкой - УТ, - ее координаты (f₁_max, f₂_max). Это самая лучшая точка области. Противоположная ей точка - АУТ - антиутопическая точка с координатами (f₁_min, f₂_min).

Чтобы сравнить альтернативы между собой, введем понятие конуса предпочтения. Для этого возьмем произвольную точку внутри поля полезности решений, назовем ее РТ - рассматриваемая точка, - и свяжем с ней систему координат, оси которой параллельны осям критериального пространства. Тогда все точки из первого квадранта (заштрихован) будут лучше, чем точка РТ. Эта область носит название конуса предпочтения. Все точки, которые хуже, чем рассматриваемая, лежат в третьем квадранте – это антиконус предпочтения. Название конус оправдывается, как только размерность задачи становится достаточно большой.

Рис. 3 – Поле полезности решений

Проанализировав таким образом все точки из области поля полезности, увидим, что остались только точки 2 и 5 – это несравнимые альтернативы, т.е. они образуют множество Парето.

Множество Парето можно построить при любом задании альтернатив:

- координатном, когда альтернативы заданы своими координатами в критериальном пространстве;

- графическом, когда альтернативы образуют непрерывное множество и изображены точками на графике в координатном пространстве (см. рис.4);

- аналитическом, когда оценки альтернатив по каждому критерию являются непрерывными функциями, например, f₁(x)=x, f₂(x)=x³-4x+2.

Рассмотрим случай, когда альтернативы заданы графически (рис.4). Чтобы построить множество Парето, т.е. убрать заведомо худшие альтернативы, сравним различные участки этой кривой. Искомому множеству могут принадлежать только убывающие участки этой кривой, если они не доминируются более правыми участками.

Рис. 4 – Построение множества Парето при графическом задании альтернатив

В результате получим множество Парето, отмеченное на рисунке синим цветом (точка справа и участок кривой со стрелочкой).

Следует заметить, что все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в смысле этого принципа, т.е. являются паретооптимальными. Основным недостатком таких решений является их множественность.

Вариант 7, 15, 18, 25 Решение МКЗ с помощью сверстки

Критерий линейной сверстки

Квадратичная сверстка

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒