|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Роь и значение вектора рез-тов.Стр 1 из 5Следующая ⇒
Варинат 1 Матрица решений
Правило выбора (MM ) Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов fir каждой строки. Выбрать следует те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения fir этого столбца Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск: нельзя столкнуться с результатом, хуже, чем max fir , какие бы условия aj ни встретились
Вариант 2, 24 Роь и значение вектора рез-тов. Вектор рез-тов Его роль – поставить в соответствие каждой альтернативе одно число х → fir (x)
Вектор ре-тов. fir=max fij - оптимистическая j fir=min fij - пессимистическая j fir=max fij +min fij - компромисса j j
fir=Σ fij - нейтралитета j
Вариант 3, 4, 20 Природные неопределенности Типы неопределенности в задачах принятия решений В чем состоит идея природных неопределенностей. Из презентаций Результат принятого решения зависит от некоторых случайных факторов А={α j}, j=1, …n, в общем случае неподвластных ЛПР.
f(x) ® max f(x, a). Неопределенность состоит в том, что каждой альтернативе х ставится в соответствие не одно значение критерия, а целый набор , определяемый количеством рассматриваемых внешних условий, x → f(x, a) Как выбрать лучшую альтернативу? В практических приложениях функция f(х, a) имеет дискретный характер, т.е. любому допустимому решению хi соответствуют различные внешние условия aj и результаты решений f(xi, aj)=fij.
из методички: Таблица 1 Матрица решений
При выборе наилучшего решения надо учитывать все возможные последствия варианта хi. Пример 1. П редприятие решает вопрос: развивать ему малые мощности данного производства (альтернатива х1), средние мощности (альтернатива х2) или крупные мощности (альтернатива х3). Прибыль предприятия будет зависеть от того, какой спрос будет в будущем на продукцию данного предприятия – низкий (НС), средний (СС) или высокий (ВС). Для формального представления ситуации необходимо выбрать целевую функцию и вычислить ее значения для каждой альтернативы при всех возможных значениях внешних факторов (уровней спроса). В качестве целевой функции в данном случае можно выбрать годовую прибыль предприятия, т.е. разницу между доходом от проданной продукции и затратами. Очевидно, лучшим решением будет то, которому соответствует максимальная прибыль. Составим матрицу решений для данной задачи (табл.2). Значения целевой функции приведены в условных единицах. Таблица 2 Матрица решений для примера 1
Однако анализ альтернатив затруднен наличием внешних факторов, в результате чего в одних условиях (НС) лучше альтернатива х1, в других (СС) – х2, в третьих (ВС) – х3. Чтобы избавиться от такого рода неопределенности, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функции, назначение которых – поставить в соответствие каждой альтернативе только одно число. При этом матрица решений Эта функция может иметь разный вид в зависимости от позиции ЛПР. В теории принятия решений различают следующие основные позиции: - оптимистическую, - пессимистическую, - позиции компромисса и - нейтралитета. Как же анализировать матрицу решений с этих позиций ЛПР? Оптимист старается не принимать во внимание плохие результаты, надеясь на наступление наиболее благоприятных внешних условий. Поэтому в качестве компоненты вектора результатов, соответствующей каждому решению, он назначает максимальный результат, т.е. максимальное значение строки: Для пессимиста вполне логично вспомнить закон Мэрфи: “Если несчастье может случиться, оно случится обязательно”. Эта позиция оправдана там, где риск недопустим. Выбирая решение в соответствии с этой позицией, мы гарантируем себе результат, не меньший, чем выбранный. А если повезет, и реализуются более выгодные внешние условия, то можно получить максимальный в данной строке результат. Вектор результатов записывается следующим образом:
Позиция компромисса учитывает как максимальный, так и минимальный результаты строки: Формируя желаемый результат в таком виде, мы исходим из компромисса между оптимистической и пессимистической позициями. Позиция нейтралитета учитывает все последствия принимаемого решения и поэтому выглядит следующим образом: Вариант 5, 16, Алгоритм решения многокритериальных задач. уменьшить исходное множество альтернатив, убрав заведомо худшие свести задачу к однокритериальной путем введения интегрального критерия Вариант 6, 17 Множество парето (9? ) Принцип парето Пусть x1 и x2 – альтернативы. Если для i fi(x1) ³ fi(x2), причем хотя бы одно неравенство строгое, то x1fx2, и альтернативу х2 можно исключить из рассмотрения Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето - множество неулучшаемых альтернатив, или множество несравнимых альтернатив, или таких, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим Возможные решения следует искать лишь среди неулучшаемых альтернатив Все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в смысле этого принципа, т.е. являются паретооптимальными Основным недостатком таких решений является их множественность
из методы
Рассмотрим принцип, с помощью которого можно уменьшить исходное множество альтернатив. Этот принцип в начале ХХ века разработал итальянский математик, социолог и экономист В. Парето. С тех пор этот принцип называют принципом Парето. Смысл его состоит в следующем. В многокритериальной задаче оценка альтернативы является векторной оценкой: j(х)=(j1(х), j2(х), …, jn(x)), ji(х) - оценка альтернативы х по i-му критерию. Возьмем две альтернативы - х1 и х2. Если все оценки ji(х1)³ ji(х2), причем хотя бы одно неравенство строгое, то альтернатива x1 предпочтительнее альтернативы х2 - х1ý х2, - и тогда альтернативу х2 можно исключить из рассмотрения. Оставшиеся альтернативы образуют множество Парето (множество неулучшаемых альтернатив), т.е. альтернатив, улучшение которых по одним критериям приводит к их ухудшению по другим, или множество неулучшаемых альтернатив. Поле полезности решений Векторная оценка альтернативы по n критериям аналогична заданию альтернативы в виде точки в некотором пространстве. Такое пространство называют критериальным. В критериальном пространстве все альтернативы будут заданы точками, проекции которых на оси являются оценками альтернатив по соответствующим критериям. Рассмотрим пример (рис.3). Здесь крестиками помечены возможные альтернативы. Отметим область, ограниченную минимальными и максимальными значениями критериев - это поле полезности решений, на рис.3 оно выделено красным прямоугольником. Все альтернативы лежат внутри этой области. Правая верхняя точка этой области называется утопической точкой - УТ, - ее координаты (f1max, f2max). Это самая лучшая точка области. Противоположная ей точка - АУТ - антиутопическая точка с координатами (f1min, f2min).
Рис. 3 – Поле полезности решений Проанализировав таким образом все точки из области поля полезности, увидим, что остались только точки 2 и 5 – это несравнимые альтернативы, т.е. они образуют множество Парето. Множество Парето можно построить при любом задании альтернатив: - координатном, когда альтернативы заданы своими координатами в критериальном пространстве; - графическом, когда альтернативы образуют непрерывное множество и изображены точками на графике в координатном пространстве (см. рис.4); - аналитическом, когда оценки альтернатив по каждому критерию являются непрерывными функциями, например, f1(x)=x, f2(x)=x3-4x+2. Рассмотрим случай, когда альтернативы заданы графически (рис.4). Чтобы построить множество Парето, т.е. убрать заведомо худшие альтернативы, сравним различные участки этой кривой. Искомому множеству могут принадлежать только убывающие участки этой кривой, если они не доминируются более правыми участками.
Рис. 4 – Построение множества Парето при графическом задании альтернатив В результате получим множество Парето, отмеченное на рисунке синим цветом (точка справа и участок кривой со стрелочкой). Следует заметить, что все альтернативы из множества Парето являются решением многокритериальной задачи в смысле этого принципа, т.е. являются паретооптимальными. Основным недостатком таких решений является их множественность.
Вариант 7, 15, 18, 25 Решение МКЗ с помощью сверстки Критерий линейной сверстки Квадратичная сверстка Из презентаций здесь x – альтернатива из множества Парето fi(x) – оценка альтернативы x по i -му критерию Таблица 13 Оценки вариантов по критериям
По этому критерию лучшая альтернатива – Х2. Задачи, в которых выполняются условия для использования линейной свертки, часто встречаются в практике. Это задачи, связанные с критериями суммарного ущерба или прибыли, дохода, денежных или временных затрат по годам планирования или по этапам жизненного цикла экономических информационных систем и т. п., т.е. там, где допускается, что низкая ценность одной частной характеристики результата компенсируется высокой ценностью другой. Свертка может быть не только линейной, но и квадратичной:
сверткой порядка t:
Величина t, стоящая в показателе степени, отражает допустимую степень компенсации малых значений одних равноценных критериев большими значениями других. Чем больше значение t, тем больше степень возможной компенсации. Например, при
Если t→ 0, т.е. требуется обеспечение примерно одинаковых уровней значений отдельных частных критериев, то интегральный критерий имеет вид
При t=1 имеем линейную свертку, при t=2 – квадратичную. В задачах планирования ударов «по узкому месту» допустима компенсация увеличения одного из критериев сколь угодно большим уменьшением остальных, т.е.
Используя в качестве интегрального критерия свертку, выбирают в качестве лучшей ту альтернативу, для которой F(x) имеет максимальное значение. Замечание. Входящие в интегральный критерий целевые функции имеют разную размерность и выражены в разных шкалах. Поэтому необходимо предварительно выразить все оценки в одной однородной шкале. Целесообразно использовать для этого следующий прием
где fi*(x) – оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале, fimax и fimin – максимальное и минимальное значения альтернатив по i-му критерию. Полученные оценки принадлежат отрезку [0; 1] и являются дробными, что не всегда удобно для расчетов. Поэтому можно, умножив все оценки по соответствующим критериям на наименьшее общее кратное, перейти в целочисленную шкалу. Сдвиг по шкале на общую для каждого из критериев величину позволит избавиться от отрицательных оценок.
Вариант8, 19 Методы решения МКЗ при равнозначных критериях Таблица 6 Матрица результатов для примера 3
Рассмотрим S-критерий: Таблица 7 Матрица остатков для примера 3
Как видим, каждый критерий предлагает свое решение. Чтобы выбрать, какому же критерию следовать, лучше всего получить дополнительную информацию о ситуации. Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковыми параметрами, то целесообразно придерживаться критерия BL (есть хоть какая-то информация о внешних условиях). Если же число реализаций невелико, то больший вес принимают более осторожные рекомендации критерия Сэвиджа (S) или минимаксного (ММ). Пусть p1=p2, а p3=0.5 (серьезная неисправность в 2 раза чаще), тогда для BL: fir =( -23, -25, -26) и BL тоже рекомендует полную проверку (Х1). В рассмотренных случаях нельзя выделить доминирующий вариант, для которого при всех внешних условиях результаты лучше, чем для других. Поэтому в каждом частном случае следует очень тщательно обосновывать позицию лица, принимающего решение. Вариант 10.Однородная школа оценок Перевод в однородную шкалу fi*(x) - оценка альтернативы x по i-му критерию в «родной» шкале fimax и fimin - максимальное и минимальное значения альтернатив по i-му критерию Вариант 11, 23 Минимаксный критерий ММ-критерий отражает позицию крайней осторожности, или крайнего пессимизма. Оценочная функция ММ-критерия:
Оценочная функция - это результат, соответствующий лучшей альтернативе. Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием: Матрица решений Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Т.е. нельзя столкнуться с результатом хуже, чем max fir, какие бы условия aj ни встретились. Поэтому ММ-критерий считается одним из фундаментальных, в технических задачах он применяется чаще всего. Однако нежелание рисковать приводит к различным потерям. Рассмотрим пример 2. Пусть есть две альтернативы (табл.3): Таблица 3 Матрица решений примера 2
Х1 вроде бы более выгодная, однако согласно ММ оптимальной считается Х2. Потери будут еще больше, если: 1) a2 реализуется чаще, чем a1, и 2) решение реализуется многократно, - т.е. в многочисленных практических ситуациях пессимизм ММ-критерия может оказаться очень невыгодным. Применение ММ-критерия оправдано, если: - о возможности появления внешних состояний aj ничего не известно; - приходится считаться с появлением различных внешних состояний aj; - решение реализуется один раз; - необходимо исключить какой бы то ни было риск. Вариант12. Критерий БАйеса-Лапласа Все рассмотренные выше критерии используются в условиях полной неопределенности, т.е. в условиях, когда ничего не известно о вероятностях наступления внешних событий. Как правило, если в этих условиях выбор затруднен, ЛПР ничего не остается, как искать дополнительную информацию. Такой дополнительной информацией может быть, например, информация о вероятности аналогичных исходов в прошлом или оцененная по результатам экспертных опросов возможность наступления того или иного внешнего события. Главное, чтобы рассматриваемые события составляли полную группу. Пусть pj - вероятность появления внешнего состояния aj, В отличие от рассмотренных ранее критериев критерий BL учитывает все возможные последствия каждой альтернативы. Тогда для BL-критерия:
Критерий Байеса-Лапласа используется, если: - вероятности появления состояний aj известны и не зависят от времени; - решение реализуется бесконечно (теоретически) много раз; - для малого числа реализаций решения допускается некоторый риск. При достаточно большом количестве реализаций значение постепенно стабилизируется. Поэтому риск практически стремится к нулю. Исходная позиция ЛПР, применяющего критерий BL, оптимистичнее, чем при минимаксном критерии, однако предполагает более высокий уровень информированности и достаточно много реализаций. Вариант 13. Критерий Сэвиджа Это критерий относительного пессимизма, который оперирует понятием риска, или остатка:
Оценочная функция выбирается как минимальное значение риска среди всех альтернатив
Здесь Правило выбора: Любой элемент матрицы решений Требования к применению S-критерия те же, что и для ММ. Вернемся к примеру 1. Дополним матрицурешений столбцами для векторов результатов. Таблица 4 Выбор оптимальной альтернативы в примере 1
Для ММ-критерия выбираем из каждой строки минимальное значение результата. Лучшая альтернатива – х1, ей соответствует максимальное значение компоненты вектора результатов. Для применения критерия Сэвиджа надо построить матрицу рисков, или остатков. Для этого из мксимального результата каждого столбца вычтем соответствующее значение результата из матрицы решений. В вектор результатов матрицы остатков выносится максимальное значение строки. Лучшей альтернативе соответствует минимальное значение максимального риска, связанного с каждой альтернативой. Таблица 5 Матрица остатков в примере 1
С точки зрения критерия Сэвиджа лучшая альтернатива – х2, ей соответствует минимальный риск. Вариант 14. Критерий ГУрвица Критерий используется в условиях полной неопределенности. Это позиция компромисса, но максимально уравновешенная:
Правило выбора: Матрица решений средневзвешенную сумму наименьшего и наибольшего результатов для любой строки. Выбираются те варианты, где стоят наибольшие значения fir этого столбца. При с=1 критерий Гурвица превращается в минимаксный критерий и отражает позицию крайнего пессимизма, при с=0 - позиция предельного оптимизма, или азартного игрока. Выбрать множитель с так же трудно, как и сам критерий. Поэтому чаще всего применяют с=0.5 (средняя точка зрения). Однако следующий пример показывает, что этот критерий может оказаться невыгодным: Таблица 8 Вариант 21 Метод Нэша Вариант 22. Метод метрики Варинат 1 Матрица решений
Правило выбора (MM ) Матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов fir каждой строки. Выбрать следует те варианты, в строках которых стоят наибольшие значения fir этого столбца Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск: нельзя столкнуться с результатом, хуже, чем max fir , какие бы условия aj ни встретились
Вариант 2, 24 Роь и значение вектора рез-тов. Вектор рез-тов Его роль – поставить в соответствие каждой альтернативе одно число х → fir (x)
Вектор ре-тов. fir=max fij - оптимистическая j fir=min fij - пессимистическая j fir=max fij +min fij - компромисса j j
fir=Σ fij - нейтралитета j
Вариант 3, 4, 20 Природные неопределенности Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 583; Нарушение авторского права страницы
- это оптимистическая позиция, или позиция азартного игрока. 
- это пессимистическая п озиция. 
. 
Чтобы сравнить альтернативы между собой, введем понятие конуса предпочтения. Для этого возьмем произвольную точку внутри поля полезности решений, назовем ее РТ - рассматриваемая точка, - и свяжем с ней систему координат, оси которой параллельны осям критериального пространства. Тогда все точки из первого квадранта (заштрихован) будут лучше, чем точка РТ. Эта область носит название конуса предпочтения. Все точки, которые хуже, чем рассматриваемая, лежат в третьем квадранте – это антиконус предпочтения. Название конус оправдывается, как только размерность задачи становится достаточно большой.
, 
, 
, т.е. когда недопустима никакая компенсация и требуется выравнивание значений всех критериев (равномерное «подтягивание» значение всех критериев к их наилучшему уровню), интегральный критерий приобретает вид
.
– мультипликативная функция.
, тогда интегральный критерий можно использовать в виде
.
, 
.
и 
, т.е.
- разница между максимальным значением j-го столбца и результатом в данном столбце, соответствующим i-ой альтернативе. В столбец вектора результатов записывается максимальное значение риска для каждой альтернативы: 
трактуется как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в состоянии aj вместо варианта хi выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант. Или как потери от замены оптимального для aj состояния варианта на вариант хi. Затем эти максимально возможные потери минимизируются.
соответствующего столбца. Разности Dij образуют матрицу остатков 
. Эта матрица дополняется столбцом наибольших разностей 
, 
, 0£ с£ 1,