Векторные и скалярные величины в теории электромагнитного поля

Величины, значения которых могут быть изображены положительными или отрицательными числами ( скалярами), называются скалярными. Величины, значения которых характеризуются (в отличие от скаляра) не только количеством, но и направлением в пространстве называются векторными и могут быть изображены векторами. Вектор – отрезок (рис.1.4), имеющий определенную длину и направление (обозначается или A, иногда . a – начало, b – конец вектора ). Длина вектора A (модуль или абсолютная величина) обозначается A или |А|. Два вектора считаются равными, если равны их модули, совпадают их направления.

В произвольной ортогональной системе координат запись вектора имеет следующий вид

A = I₁ A₁ + I₂ A₂ + I₃ A₃.

Проекции A₁.A₂ и A₃ называются компонентами или составляющими вектора A; I₁, I₂ и I₃ – единичные векторы или орты в выбранной системе координат.

В декартовой системе координат

A = x₀ A_x + y₀ A_y + z₀ A_z,

 

С у м м а двух векторов A и B – диагональ ac (вектор С) параллелограмма построенного на этих векторах (рис.1.5). Разностью A–B называется сумма векторов A и( –B) (диагональ db параллелограмма на рис.1.5).

Сложение (вычитание) в векторной алгебре означает алгебраическое сложение (вычитание) компонент векторов:

A ± B = l ₁(A₁ ± B₁) + l ₂(A₂ ± B₂) + l ₃(A₃ ± B₃)

Где l ₁, l ₂ и l ₃ орты системы координат

Умножение векторов

Скалярное умножение векторов. Скалярным произведением векторов A и B называют скаляр, равный произведению длин этих векторов на косинус образованного ими угла j. Скалярное произведение обозначают A^.B или ( A, B ).

В декартовой системе координат:

(A, B) = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z

Зная скалярное произведение двух векторов, легко найти угол между ними

а также величину проекции одного вектора на направление, определяемое другим вектором, например, проекция вектора А на В равна

Векторное умножение векторов. Векторным произведением векторов A и B называют вектор C модуль, которого равен площади параллелограмма S, построенного на этих векторах, а направление перпендикулярно плоскости этого параллелограмма и определяется правилом буравчика (правилом правого винта) при повороте от первого вектора ко второму по кратчайшему пути (рис. 1.6). Векторное произведение принято обозначать одним из следующих способов:

A´ B, [ A, B ], [ AB ],

Из определения векторного произведения следует, что

|[ A, B ]| = AB sin j = S

[ A, B ] = [ l ₁A₁ + l ₂A₂ + l ₃A₃, l ₁B₁ + l ₂B₂ + l ₃B₃] =

=l ₁(A₂B₃ – B₂A₃) + l ₂(A₃B₁ – B₃A₁) + l ₃(A₁B₂ – B₁A₂).

Или

.

[ A, B ] = - [ B, A ]

Смешанное произведение трех векторов.

В декартовой системе координат выражение смешанного произведения принимает вид:

Векторное произведение [ B, C ] представляет собой вектор, перпендикулярный В и С, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах В и С, т.е. S = │ [ B, C ]│ =BC sin θ (рис.1.6). Этот параллелограмм можно рассматривать как основание параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, следовательно модуль смешанного произведения будет равен произведению площади основания параллелепипеда на его высоту (проекция ребра А на его перпендикуляр к основанию). То есть модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда V, построенному на векторах А, В, и С (рис.1.6).

V=│ ( A, [ B, C ])│ =│ Acosφ │ [ B, C ]│ │ =hS

Нетрудно показать, что смешанное произведение обладает следующим свойством

( А, [ B, C ]) = ( C, [ А, B ]) = ( B, [ C, А ]),

т.е. при циклической перестановке входящих в него векторов ( замене А на В, В на С и С на А ) величина смешанного произведения не изменяется.

Двойное векторное произведение. A´ (B´ C ) – вектор, компланарный B и C и может быть вычислен по формуле

A´ (B´ C) = B(A, C) – C(A, B).

 

 

Л Е К Ц И Я - 2

 

 

Ч а с т ь - 2

Элементы векторного анализа

Скалярное поле. Градиент

Скалярное поле. Если в каждой точке некоторой области пространства заданы значения скалярной функции y( r ), говорят, что в этой области задано скалярное поле y( r ) (поле функции y( r )). Важной характеристикой скалярного поля являются так называемые поверхности уровня (или изоповерхности), на которых y( r ) = const.

Градиент. Рассмотрим две достаточно близкие поверхности уровня и выделим малую область поля, в которой участки этих поверхностей с нужной степенью точности не отличаются от параллельных плоскостей. Пусть разность значений функции y( r ), принимаемых ею на выделенных поверхностях уровня, равна Dy. На рис.2.8, где следы этих поверхностей показаны в виде двух прямых, построены также два направления: нормаль n к поверхностям и некоторое произвольное направление l. Поскольку расстояние между плоскостями по нормали – кратчайшее и Dn = Dl cosa, то очевидно

Переходя к пределу при Dn ® 0 получаем (для дифференцируемой y):

и, следовательно, среди производных функции по всевозможным направлениям, производная по нормали к поверхности уровня является максимальной. Вектор, направленный в сторону наибольшего изменения y и равный по абсолютному значению его скорости, называется градиентом и обозначается grad y .

где n ₀ – единичный вектор нормали n.

Градиент обладает следующими свойствами

grad (y + j) = grad y + grad j,

grad (y ^. j) = j grad y + y grad j,

grad (y / j) = (j grad y –y grad j)/j²,

.

С учетом метрических коэффициентов и соответствующих ортов (см. таблицу1) выражение для градиента в декартовой системе координат:

В цилиндрической системе координат:

В сферической системе координат:

Рассмотрим проекцию grad ψ на произвольно выбранное направление I, обозначаемую grad_Iψ. По определению проекции

где I₀ – единичный вектор вдоль I, а поскольку ( I₀, n₀ )=cosα

производная скалярной функции по направлению вектора I.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. Основные расчетные величины индивидуального пожарного риска
2. IV. Порядок разработки дополнительных противопожарных мероприятий при определении расчетной величины индивидуального пожарного риска
3. VIII. Часть общего поля восприятия постепенно обособляется в виде самости.
4. Биологическое действие электрического поля атмосферы
5. В зависимости от особенностей набора методов и средств государственного властвования различают два полярных режима - демократический и антидемократический.
6. В работе ставится цель - изучить влияние переменного параметра в одной из параллельных ветвей на величины и фазы токов ветвей и источника питания.
7. Векторное поле и векторные (силовые) линии
8. Величины мышечной силы правой и левой рук в группах мужчин
9. Величины, характеризующие магнитное поле в вакууме и веществе
10. Визуальное изучение магнитного поля
11. Влияние полярности электродов на пробивное напряжение газа