Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Метод комплексных амплитуд .
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одноцветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты. Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. Если некоторая величина u(t) изменяется во времени по закону u(t) = umcos(ω t + φ ) то говорят, что происходят гармонические колебания, причем um называется амплитудой, ω – круговой частотой, а аргумент косинуса ω t + φ – фазой колебания (полной фазой); последняя, если это требуется, приводится к значению, лежащему в пределах 0 ÷ 2π или – π ÷ π; величину φ называют начальной фазой ( а также фазовым сдвигом или просто фазой) Наименьший отрезок времени T, обладающий тем свойством что для любого момента t u(t + T) = u(t), есть по определению, период колебаний, а число периодов в секунду – частота, обозначаемая f. Очевидно . В теории электромагнитного поля встречаются, в частности, скалярные функции координат и времени вида u( r, t) = u(x, y, z) = um( r ) cos[ω t + φ ( r )], описывающие гармонические колебания в пространстве с амплитудами и фазами, которые могут изменяться от точки к точке. Три такие скалярные функции иногда являются компонентами вектора в декартовой или иной системе координат. Такой вектор может быть представлен в виде: V ( r, t) = x 0Vmx( r ) cos[ω t + φ x( r )] + y 0Vmy( r ) cos[ω t + φ y( r )] + z 0Vmz (r ) cos[ω t + φ z( r )]. В частности, если φ x = φ y = φ z, т.е., как говорят, все компоненты вектора колеблются «в одной фазе», то V ( r, t) = Vm ( r ) cos[ω t + φ ( r )], где Vm ( r ) = x 0Vmx(r) + y 0Vmy(r) + z 0Vmz(r) – амплитуда колеблющегося вектора. В дальнейшем в подобных выражениях для краткости будем опускать аргументы ( r, t) и ( r ). Введем комплексную функцию , где i– мнимая единица (i2 = –1), множитель называется комплексной амплитудой колебаний. Для перехода от комплексной функции к функции u нужно взять от реальную часть Как видно, в комплексном представлении мы имеем произведение функции координат и функции времени eiω t. Совершенно аналогично где комплексная амплитуда (функция координат) есть , а в частном случае . Комплексная амплитуда несет информацию как об амплитуде так и о начальной фазе колебаний (трех начальных фазах в общем случае вектора). Пусть имеется линейное уравнение L ( V ) = F, ( 1 ) где V – неизвестная векторная функция вида, L – некоторый линейный вещественный дифференциальный или интегральный оператор, а F заданная векторная функция того же вида, что и V: F = x 0Fmx cos(ω t + φ x) + y 0Fmy cos(ω t + φ y) + z 0Fmz cos(ω t + φ z). Заметим, что векторное уравнение взято в качестве более общего случая, и все дальнейшие рассуждения применимы и к скалярным уравнениям. Рассмотрим новое уравнение: . ( 2 ) В силу линейности оно распадается на два уравнения относительно действительных и мнимых частей входящих функций , причем первое из этих уравнений не отличается от (1), поскольку и . Это означает, что вещественная часть решения уравнения (2) удовлетворяет первоначальному уравнению (1). Очевидно, что вместо (1) можно решать уравнение (2) и затем разыскиваемую функцию V получать как вещественную часть найденного решения . Преимущество такого подхода – в исключении временной зависимости. Действительно, операции дифференцирования и интегрирования по времени под знаком оператора L в (2) сводятся к умножению и, соответственно, делению функции на iω t так что , где Lω – зависящий от ω оператор, который выражает либо дифференцирование или (и) интегрирование по координатам. Внося это в (2) и исключая слева и справа общий множитель eiω t, имеем: . (3) Таким образом, вместо первоначального уравнения (1) относительно функции координат и времени V ( r, t) получили уравнение (3) относительно комплексной амплитуды , функции координат. Метод комплексных амплитуд состоит в том, что заданное уравнение типа (1) приводится к виду (3), а после того как оно решено, и функция координат найдена, разыскиваемая функция координат и времени V(r, t) получается как вещественная часть от . Средние значения Говорят, что величина u(t1) есть «мгновенное значение» функции u(t) для момента t1. Но часто представляет интерес также среднее значение F, под которым понимают . Очевидно, в частности, что для F= u Уравнения Максвелла Как известно из курса физики, анализ электромагнитных процессов возможен только на основе системы уравнений Максвелла: совместно с уравнениями состояния или материальными уравнениями: D = ε а E, B = μ а H, j = σ E, где E – вектор напряженности электрического поля; H – вектор напряженности магнитного поля; B – вектор магнитной индукции; D – вектор электрического смещения; j – вектор объемной плотности тока проводимости; ε а и μ а – абсолютные диэлектрическая и магнитные проницаемости среды соответственно; σ – удельная проводимость среды; J ст и ρ ст – объемные плотности сторонних токов и зарядов соответственно, являющихся источниками электромагнитного поля.[1] Переходя к комплексным амплитудам и заменяя дифференцирование по времени на умножение на iω (ω – круговая частота), учитывая уравнения состояния, получаем полную систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд с учетом сторонних источников: где и – комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, соответственно, и – комплексные амплитуды объемной плотности сторонних токов и зарядов, комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости, δ m – угол магнитных потерь. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 1209; Нарушение авторского права страницы