![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Метод комплексных амплитуд .
Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой практический и теоретический интерес. Такие поля часто называют монохроматическими. В буквальном переводе «монохроматический» означает «одноцветный». Название взято из оптики: как известно, каждому цвету соответствуют колебания определенной частоты. Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. Если некоторая величина u(t) изменяется во времени по закону u(t) = umcos(ω t + φ ) то говорят, что происходят гармонические колебания, причем um называется амплитудой, ω – круговой частотой, а аргумент косинуса ω t + φ – фазой колебания (полной фазой); последняя, если это требуется, приводится к значению, лежащему в пределах 0 ÷ 2π или – π ÷ π; величину φ называют начальной фазой ( а также фазовым сдвигом или просто фазой) Наименьший отрезок времени T, обладающий тем свойством что для любого момента t u(t + T) = u(t), есть по определению, период колебаний, а число периодов в секунду – частота, обозначаемая f. Очевидно
В теории электромагнитного поля встречаются, в частности, скалярные функции координат и времени вида u( r, t) = u(x, y, z) = um( r ) cos[ω t + φ ( r )], описывающие гармонические колебания в пространстве с амплитудами и фазами, которые могут изменяться от точки к точке. Три такие скалярные функции иногда являются компонентами вектора в декартовой или иной системе координат. Такой вектор может быть представлен в виде: V ( r, t) = x 0Vmx( r ) cos[ω t + φ x( r )] + y 0Vmy( r ) cos[ω t + φ y( r )] + z 0Vmz (r ) cos[ω t + φ z( r )]. В частности, если φ x = φ y = φ z, т.е., как говорят, все компоненты вектора колеблются «в одной фазе», то V ( r, t) = Vm ( r ) cos[ω t + φ ( r )], где Vm ( r ) = x 0Vmx(r) + y 0Vmy(r) + z 0Vmz(r) – амплитуда колеблющегося вектора. В дальнейшем в подобных выражениях для краткости будем опускать аргументы ( r, t) и ( r ). Введем комплексную функцию Как видно, в комплексном представлении где комплексная амплитуда (функция координат)
а в частном случае
Комплексная амплитуда несет информацию как об амплитуде так и о начальной фазе колебаний (трех начальных фазах в общем случае вектора). Пусть имеется линейное уравнение L ( V ) = F, ( 1 ) где V – неизвестная векторная функция вида, L – некоторый линейный вещественный дифференциальный или интегральный оператор, а F заданная векторная функция того же вида, что и V: F = x 0Fmx cos(ω t + φ x) + y 0Fmy cos(ω t + φ y) + z 0Fmz cos(ω t + φ z). Заметим, что векторное уравнение взято в качестве более общего случая, и все дальнейшие рассуждения применимы и к скалярным уравнениям. Рассмотрим новое уравнение:
В силу линейности оно распадается на два уравнения относительно действительных и мнимых частей входящих функций
причем первое из этих уравнений не отличается от (1), поскольку Очевидно, что вместо (1) можно решать уравнение (2) и затем разыскиваемую функцию V получать как вещественную часть найденного решения
где Lω – зависящий от ω оператор, который выражает либо дифференцирование или (и) интегрирование по координатам. Внося это в (2) и исключая слева и справа общий множитель eiω t, имеем:
Таким образом, вместо первоначального уравнения (1) относительно функции координат и времени V ( r, t) получили уравнение (3) относительно комплексной амплитуды Метод комплексных амплитуд состоит в том, что заданное уравнение типа (1) приводится к виду (3), а после того как оно решено, и функция координат найдена, разыскиваемая функция координат и времени V(r, t) получается как вещественная часть от Средние значения Говорят, что величина u(t1) есть «мгновенное значение» функции u(t) для момента t1. Но часто представляет интерес также среднее значение F, под которым понимают
Очевидно, в частности, что для F= u Уравнения Максвелла Как известно из курса физики, анализ электромагнитных процессов возможен только на основе системы уравнений Максвелла: совместно с уравнениями состояния или материальными уравнениями: D = ε а E, B = μ а H, j = σ E, где E – вектор напряженности электрического поля; H – вектор напряженности магнитного поля; B – вектор магнитной индукции; D – вектор электрического смещения; j – вектор объемной плотности тока проводимости; ε а и μ а – абсолютные диэлектрическая и магнитные проницаемости среды соответственно; σ – удельная проводимость среды; J ст и ρ ст – объемные плотности сторонних токов и зарядов соответственно, являющихся источниками электромагнитного поля.[1] Переходя к комплексным амплитудам и заменяя дифференцирование по времени на умножение на iω (ω – круговая частота), учитывая уравнения состояния, получаем полную систему уравнений Максвелла для комплексных амплитуд с учетом сторонних источников: где Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-11; Просмотров: 1256; Нарушение авторского права страницы