Векторное поле и векторные (силовые) линии

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

Если во всех точках некоторой области пространства определены значения вектора А ( r ), говорят, что в данной области задано поле вектора А ( r ) (векторное поле А ( r )). Любой вектор А ( r ) можно представить в виде

A ( r ) = l₁ A₁( r ) + l₂ A₂( r ) + l₃ A₃( r ),

то задание вектора А(r) эквивалентно заданию трех скалярных функций A₁( r ), A₂( r ) и A₃( r ).

Потенциальные векторные поля. Если задана векторная функция F, являющаяся градиентом некоторой скалярной функции y, то такое векторное поле называется потенциальным, а y – потенциалом. Поверхности уровня, на которых y =const, являются, следовательно, поверхностями постоянного потенциала, или эквипотенциальными поверхностями. Линии вектора F = grad y всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям, т.е. пересекают их под прямым углом.

Для наглядного изображения векторного поля строят так называемые векторные линии (рис. 2.9), т.е. линии, в каждой точке которых вектор направлен по касательной к линии .Введем понятие векторного дифференциала длины вдоль некоторой линии:

В первой строчке он выражен через обычный дифференциал длины и единичный вектор касательной t₀ (рис. 2.10а), а во второй – через дифференциалы и единичные векторы ортогональной системы координат (рис. 2.10б). области пространства, в которой задано поле вектора F, проведем некоторую непрерывную кривую (контур l), соединяющую точки А и В (рис.2.12). Направление от А к В будем считать положительным. Рассмотрим криволинейный интеграл, вычисляемый вдоль некоторого пути по кривой l от точки А до точки В

Раскрывая скалярное произведение в подынтегральном выражении

т.е. интеграл Т при однозначности y не зависит от пути, а определяется только значениями потенциала y в начальной и конечной точках пути. Каков бы ни был путь интегрирования, ведущий от точки А к точке В (рис.2.12), значение Т остается равным разности потенциалов в этих точках.

Из этого следует, что интеграл по замкнутому пути L равен нулю:

поскольку точки А и В в данном случае совпадают. Этот интеграл называется циркуляцией вектора F по замкнутому контуру (пути) L. Циркуляция градиента тождественно равна нулю.

Справедливо и обратное утверждение. Если циркуляция вектора F по любому замкнутому контуру равна нулю, то вектор F может быть представлен в виде F = grad y.

2.1.3Дивергенция. Силовые линии и поток вектора. Выделим некоторый объем V, охватываемый замкнутой поверхностью S в области пространства, в каждой точке которого задано векторное поле F. На рис. 2.13 изображено несколько характерных типов расположения силовых линий, которые могут встретиться (пунктиром изображена граница S объема V). Внутри объема V может находиться «источник» векторных линий (рис. 2.13а), либо «сток» (рис. 2.13б), т.е. линии выходят из V или, соответственно входят в V через границу S. Но векторные линии могут также пронизывать V насквозь, не начинаясь и не кончаясь в этой области (рис. 2.13в). Наконец, замкнутые векторные линии могут совершенно не пересекать границу S (рис. 2.13г).

Характер поведения векторного поля можно оценить с помощью потока вектора. Потоком вектора F через поверхность S называется интеграл

где векторный дифференциал ds это произведение обычного дифференциала ds на единичный вектор нормали n ₀ к поверхности, т.е. ds = n ₀ds. Тогда F ds = F n ₀ ds = F_n ds. В случае замкнутой поверхности положительной нормалью n ₀ всегда считается внешняя нормаль. В случае незамкнутой поверхности S выбирается одно из двух возможных направлений нормали. В теории электромагнитного поля положительной считают нормаль к поверхности S, опирающейся на одновитковый замкнутый контур L если из конца нормали n ₀ обход контура виден идущим против часовой стрелки (нормаль и обход контура как бы образовывают правовинтовую систему).

Скалярное произведение под знаком интеграла в будет положительным когда угол между векторами F и ds острый, и отрицательным при тупом угле.

Дивергенция вектора F в точке P, обозначаемая div F, это предел отношения потока вектора F через замкнутую поверхность DS, охватывающую точку P, к объему DV, ограниченному поверхностью DS при стягивании его к точке М.

В тех точках, в которых div F ¹ 0, линии вектора F претерпевают разрыв. Линии выходят из точек, где div F > 0 – источники (рис. 2.1а) и входят в точки, где div F < 0 – стоки (рис. 2.1б), в точках, где div F = 0, линии вектора F непрерывны. Мерой интенсивности истока (стока) служит div F.

Дивергенция в криволинейных ортогональных координатах

Дивергенция в декартовых координатах:

;

в цилиндрической системе координат:

;

в сферической системе координат:

Свойства дивергенции.

div ( A + F ) = div A + div F ,

div(c F ) = c ^. div F ,

если j – скалярная, а F – векторная функции координат, то

div (j ^. F ) = j ^. div F + (gradj, F ).

Теорема Остроградского-Гаусса.

Пользуясь этой формулой, следует помнить. что S –замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, dS = n ₀ dS, где dS – элемент поверхности, а n ₀ – орт внешней нормали к поверхности S.

Ротор. Теорема Стокса

По определению rot F есть вектор, проекция которого на произвольное направление n выражается следующим образом:

где Δ S – площадка, выбранная так, что n – это нормаль к этой площадке, образующая правовинтовую систему с направлением обхода контура L (если смотреть вдоль вектора n, обход контура L производится по часовой стрелке).

Общая формула для вычисления rot F в криволинейных ортогональных координатах имеет вид:

Ротор в декартовой системе координат:

или

В цилиндрической системе координат:

В сферической системе координат:

Свойства ротора:

1) rot( F + A ) = rot F + rot A,

2) rot (m F ) = m rot F,

3) rot(y F ) = y rot F + [grady, F ],

где y – скалярная функция координат.

4) rot grad ψ ≡ 0.

Потенциальные поля ( F = grad ψ ) являются обязательно «безвихревыми».

5) div rot F ≡ 0

Расходимость вихревого поля равна нулю, т.е. вихревое поле соленоидально.

Теорема Стокса.

связывает между собой циркуляцию вектора по одновитковому замкнутому контуру L с потоком ротора того же вектора через произвольную поверхность S, опирающуюся на этот контур.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒