Механический подход к описанию природы

СОДЕРЖАНИЕ

 

Теоретическое введение.

Основы термодинамики и молекулярно-кинетической теории

(доц. А.Ю. Музычка)………………………………………………..4

1. Механический подход к описанию природы……………..4

2. Термодинамический подход к описанию

явлений природы………………………………………………5

3. Элементы молекулярно-кинетической теории и статистической физики………………………………………………...10

4. Теплоёмкости идеального газа……………………………12

5. Вывод уравнения Пуассона……………………………….13

6. Элементарная теория теплоёмкостей идеальных газов…14

7. Элементы термодинамики твёрдых тел………………….17

 

Лабораторная работа № 110

Определение отношения С_p/С_V для воздуха методом Клемана-Дезорма

 

Теоретическое введение

" ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ"

 

Механический подход к описанию природы

В механике объектом изучения являются тела, поведение которых описывается законами механического движения, т.е. тела, движущиеся как целое. Тела объединяются в механические системы. В качестве примеров механических систем можно привести солнечную систему, два шарика на пружинке и т.д. Более того, рассматривая поведение только одного тела, говорят, что имеется механическая система, состоящая из одного тела.

Поведение системы с течением времени заключается в смене ее состояний. Для того, чтобы описать состояние системы материальных точек необходимо задать их положения и скорости. Для описания состояния системы, в которую входят протяженные твердые тела, наряду с положениями и скоростями их центров масс необходимо задать ориентации тел и их угловые скорости.

Таким образом, задание состояния механической системы представляет собой задание совокупности чисел, каждое из которых может измениться при изменении состояния, т.е. с течением времени. Часто бывает так, что изменение одного числа влечет за собой изменение других чисел. Например, изменение положения центра масс твердого тела приводит к изменению положений других его материальных точек. Дадим определение: совокупность независимых величин, однозначно определяющих состояние механической системы, называется совокупностью динамических переменных. Отсюда ясно, что эволюция системы, т.е. смена ее состояний с течением времени, описывается как изменение с течением времени ее динамических переменных.

Всё, что может быть выражено через динамические переменные, представляет собой функцию механического состояния системы. Одной из таких функций является механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергий. Еще одно определение: степенью свободы механической системы называется динамическая переменная, от которой зависит полная механическая энергия системы.

Приведем простой пример. Рассмотрим механическую систему, состоящую из одной материальной точки в однородном и изотропном пространстве, т.е. в отсутствие каких бы то ни было силовых полей. Понятно, что если на тело не действуют никакие силы, то ее потенциальная энергия не меняется при переходе из одного положения в другое и может быть принята за 0. Система описывается шестью динамическими переменными: тремя пространственными координатами и тремя компонентами скорости. Но, поскольку, полная механическая энергия системы представляет собой только кинетическую энергию, то у системы только три степени свободы, которыми являются компоненты скорости по взаимно перпендикулярным осям: v_x, v_y, v_z.

Механика ставит своей задачей точное описание эволюции механической системы и дает ответ на вопрос, что для этого необходимо. Необходимо и достаточно точно задать начальное состояние и стационарные поля сил, действующих на тела системы.

 

Термодинамический подход к описанию явлений природы.

Термодинамические состояния.

Достаточно непредвзято взглянуть на окружающий нас мир, чтобы сделать вывод о том, что механический подход не является исчерпывающим при его описании. Протяженные тела, которые нас окружают, часто неподвижны, и с точки зрения механики про них сказать больше нечего. Тем не менее, непосредственный опыт убеждает нас, что они могут находиться в разных состояниях: вода, помещенная в сосуд, может быть либо очень холодной, либо прохладной, либо теплой, либо в виде крутого кипятка. Эти состояния не являются состояниями в механическом смысле. Слова «горячее», «холодное», понятные для любого из нас, вообще не имеют смысла в механике.

Системы, состояния которых не могут быть полностью описаны в механике, называются термодинамическими (ТД) системами. Параметры, дополнительные по отношению к механическим, называются термодинамическими параметрами. Полная совокупность ТД-параметров системы описывает её термодинамическое состояние.

Системы, рассматриваемые в термодинамике, - это макроскопические тела, и ТД-параметры представляют собой их макроскопические свойства. Все они могут быть оценены непосредственно с помощью органов чувств человека. Термодинамика изучает макроскопические свойства и явления, не интересуясь их микроскопической природой.

В «фокусе» термодинамического рассмотрения находится неподвижное тело (ТД-система), которое обменивается энергией с окружением. При этом механическое состояние тела в процессах этого обмена не меняется, тогда как механическое состояние окружения может меняться. Термодинамика описывает процессы обмена энергией в такой постановке задачи и связанные с этим изменения ТД-состояния рассматриваемой системы.

Мы будем считать, что система и окружение не обмениваются своими частями, т.е. нет массообмена. В этом случае обмен энергией производится двумя способами: в процессе работы и в процессе теплообмена.

Работой называется процесс обмена энергией, сопровождаемый механическим движением.Количество энергии, переданной от системы окружению в этом процессе, тоже называется работой А. Как видим, слово «работа» применяется в двух разных смыслах.

Работой называется процесс обмена энергией, сопровождаемый изменением внешних параметров ТД-системы.

Процесс обмена энергии, не связанный с изменением внешних параметров ТД-системы, называется теплообменом.

 

Температура.

Заданное ТД-состояние определяет все физические величины, связанные с этим состоянием, т.е. функции состояния. Из изложенного выше следует, что состояние не может быть задано одним параметром. Следовательно, функции ТД-состояния – это функции нескольких аргументов. Из двух параметров равновесного газа p и V можно искусственным образом сконструировать бесконечное множество функций, физический смысл которых будет неясен или вообще его не будет. Становление термодинамики было связано с открытием функций состояния, имеющих физический смысл.

Теплообмен между двумя ТД-системами возможен, если их приводят в тепловой контакт. ТД-система, которая не находится в тепловом контакте ни с какой другой, называется адиабатически изолированной. Две равновесные системы, приведенные в тепловой контакт друг с другом, могут обмениваться теплом, а могут и не обмениваться. В последнем случае говорят, что они находятся в равновесии друг с другом, или, другими словами, что у них одинаковая температура. Для каждой равновесной ТД-системы существует функция ее ТД-параметров, которая для всех систем, находящихся в равновесии друг с другом, имеет одно и то же значение; эта функция называется температурой.

Таким образом, температура может быть определена только в равновесном состоянии ТД-системы. Чтобы понятия «большая» и «меньшая температура» имели строго определенный смысл, необходимо добавить, что при получении телом тепла при постоянных внешних параметрах его температура увеличивается.

Из опыта известен следующий факт: если зафиксировать все внешние параметры системы в термостате, то в ней со временем установится единственно возможный набор равновесных внутренних параметров. Следовательно, в равновесном ТД-состоянии все внутренние параметры однозначно определяются внешними параметрами и температурой.

Соотношение, связывающее температуру, внешние параметры и внутренний параметр равновесного ТД-состояния, называется уравнением состояния. В термодинамике идеальным газом называется система, уравнением состояния которой является уравнение Менделеева-Клапейрона:

 

Итоги обзора ТД-подхода.

Подобно механике термодинамика, описывающая поведение термодинамических систем, является самостоятельной физической дисциплиной благодаря двум обстоятельствам: во-первых, в ее рамках установлен способ описания состояния изучаемых систем; во-вторых, установлена система аксиом, которым подчиняется любой переход между состояниями. Среди этих аксиом нас в данном цикле работ будет интересовать только одна: первый закон ТД.

 

И статистической физики

Основное положение молекулярно-кинетической теории (МКТ) строения вещества, рожденное еще в древней Греции как гениальная гипотеза, о том, что все макроскопические тела состоят из огромного количества микроскопических, во второй половине XIX и в начале XX веков нашло свое экспериментальное подтверждение.

Оказалось, что характерная масса макромира, равная одному грамму, больше, чем масса одного атома водорода, равная одной атомной единице, в N_A раз, где N_A@6× 10²³ – число Авогадро. Это число является характерным числом, показывающим, какое число микроскопических частиц составляет макроскопическое тело.

Любое макроскопическое тело МКТ принципиально рассматривает как механическую систему. В частности, наиболее простое по свойствам макроскопическое тело, которым является идеальный газ, МКТ определяет следующим образом. Идеальным называется газ, для которого суммарная потенциальная энергия взаимодействия молекул, являющаяся функцией их взаимного расположения, все время пренебрежимо мала по сравнению с их суммарной кинетической энергией теплового движения, а размеры молекул пренебрежимо малы по сравнению со средним расстоянием между ними.

Чем выше температура газа и ниже его давление, тем ближе по своим свойствам реальный газ к идеальному. Многие газы (например, инертные газы, Н₂, О₂, N₂ и др.) можно считать идеальными уже при нормальных условиях (давление р=10⁵ Па, Т=273 К) и даже при более низких температурах.

Однако, принимая в расчет огромное количество материальных тел, из которых состоит механическая система «макроскопическое тело», МКТ по отношению к подобной системе точно также принципиально отказывается от основной задачи механики, которая была сформулирована в конце пункта 1.

С точки зрения МКТ все внутренние ТД-параметры и функции ТД-состояний представляют собой механические величины, усредненные по всем микрочастицам, входящим в систему. Задачей МКТ является расчет одних макроскопических параметров и выражение через рассчитанные всех характеристик макросистемы. Эту задачу МКТ решает отнюдь не методами механики, а используя аппарат теории вероятности и свою систему постулатов. Поэтому МКТ называется также классической статистической физикой.

Из всей системы постулатов стат. физики нас будут интересовать только закон о равном распределении внутренней энергии по степеням свободы: в состоянии ТД-равновесия на каждую степень свободы макроскопической системы в среднем приходится одинаковая порция внутренней энергии, равная kT/2. Здесь k=1.38× 10^-23 Дж/К – постоянная Больцмана. Нужно понимать, что «в среднем» – это не просто взяли общую U и поделили на количество степеней свободы системы. Это значит то значение, вокруг которого с течением времени «пляшет» энергия данной степени свободы. Т.е. здесь под усреднением понимается усреднение по времени.

Во-первых, последний постулат делает прозрачным смысл абсолютной температуры: оказывается абсолютная температура – мера энергии теплового движения, приходящейся на одну степень свободы в состоянии теплового равновесия. Во-вторых, он позволяет быстро рассчитать внутреннюю энергию идеального газа в равновесном состоянии.

Пусть идеальный газ состоит из N молекул с количеством степеней свободы одной молекулы, одинаковым для всех молекул и равным i. Т.к. взаимодействием между молекулами можно пренебречь, то сумма индивидуальных степеней свободы молекул и есть полное число степеней свободы, которое равно N× i. Отсюда внутренняя энергия идеального газа

Как известно N=n× N_A, где число молей n=m/m, где m - молярная масса газа, а т – масса газа. Следовательно

Произведение N_A× k= R (универсальная газовая постоянная). Следовательно

Отсюда дифференциал внутренней энергии определенного количества определенного идеального газа

 

Вывод уравнения Пуассона

В случае адиабаты I-й закон ТД принимает вид:

0=С_V× dT+р× dV.

Из уравнения состояния

Из соотношения Майера

Следовательно

Подставим в I-й закон:

Раскроем скобки и приведем подобные члены по дифференциалам p и V:

Поделим это уравнение на . В результате получим:

Поделим на C_V¹ 0:

Обозначим - показатель адиабаты, следовательно,

PV^g=const

 

Идеальных газов

Рассмотрим возможные случаи.

1) Одноатомный идеальный газ.

Одноатомную молекулу можно представить как материальную точку, движущуюся в однородном и изотропном пространстве. Следовательно, она имеет три степени свободы. В этом случае показатель адиабаты

2) Двухатомный идеальный газ, состоящий из жестких молекул.

Кинетическая энергия одной молекулы связана, во-первых, с поступательным движением центра масс молекулы. Очевидно, что эти движения имеет три степени свободы. Во-первых, молекула совершает вращательное движение вокруг центра масс молекулы. Это движение можно рассматривать как суперпозицию вращений вокруг трех взаимно перпендикулярных осей x, y, z, проведенных через центр масс молекулы. Тогда с каждой из осей связана энергия

где J_i – осевые моменты инерции, а w_i – соответствующие угловые скорости. Если оси вращения направить так, как указано на рисунке, то момент инерции оси, совпадающей с осью молекулы, равен 0. Следовательно, вместо трех вращательных степеней свободы реализуется только две. Таким образом, i=3+2=5. Следовательно,

.

В большинстве многоатомных молекулах с количеством атомов большим двух, атомы не «выстраиваются» по одной прямой (исключением является, например углекислый газ СО₂). Поэтому вращательных степеней свободы будет уже три, тогда i=6 и для жёстких молекул

.

3) Двухатомный идеальный газ, состоящий из нежёстких молекул.

Проще всего такую молекулу представить как одномерный осциллятор, т.е. точечные массы атомов, соединенные пружинкой, которая может только сжиматься и разжиматься, но не может изгибаться. С колебательным движением связана кинетическая энергия движения атомов относительно друг друга (одна степень свободы) и потенциальная энергия сжатой пружины, связанная с расстоянием между атомами (еще одна степень свободы). Таким образом, колебательное движение «занимает» две степени свободы. При этом сохраняются 5 степеней свободы поступательного и вращательного движения. Итого i=5+2=7, следовательно

.

С точки зрения классической механики не существует причин, которые делали бы связь между атомами в молекуле абсолютно жесткой. Поэтому классическая физика для двухатомного газа предсказывает значение g=1, 29 при любой температуре. Но молекула является микроскопическим объектом и подчиняется законам не классической, а квантовой механики. По этим законам для того, заставить осциллятор двигаться, ему нужно сообщить порцию энергии, определяемую собственной частотой колебаний осциллятора n₀ по следующей формуле:

De=hn₀

где постоянная Планка h=6, 63× 10^-34 Дж× с. Тепловые возбуждения могут «заселить» квантовый осциллятор только при условии

kT @ hn₀

Но собственные частоты молекулярных «пружинок» огромны, и для того, чтобы выполнялось это соотношение, температура должна достигать ~10³ К. При комнатных температурах

kT < < hn₀,

поэтому связь между атомами в молекуле является «замороженной» и абсолютно жесткой. Таким образом, квантовая механика предсказывает значение g=1, 4 при комнатной температуре.

Исследуемый в одной из лабораторных работ сборника воздух является двухатомным газом при комнатной температуре, и поэтому, выполняя работу, студент сам может проверить справедливость классического или квантового предсказания.

 

Лабораторная работа № 110

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ С_р/С_V ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА

 

Цель лабораторной работы

Целью данной лабораторной работы является усвоение закономерностей молекулярной физики и термодинамики.

 

Задачи лабораторной работы

Задачей работы является определение отношения теплоемкостей идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объеме. На основании полученной в эксперименте величины студент должен определить количество степеней свободы, приходящееся на одну молекулу идеального газа. Другими словами, название данной работы можно было бы сформулировать так: «Экспериментальное определение числа степеней свободы одной молекулы исследуемого идеального газа».

 

Приборы и принадлежности

Лабораторный комплекс ЛКТ-5, стеклянный баллон, груша-помпа, мембранный манометр, силиконовые шланги, тройники для шлангов.

 

Вывод расчётной формулы

Изложим общую канву метода Клемана-Дезорма.

Если в сосуд объёмом V₀₂ с установившимся атмосферным давлением подкачать немного газа, то давление в сосуде р₁ станет больше атмосферного (р₀), а температура через некоторое (достаточно короткое) время станет равной комнатной. Таким образом, мы получим равновесное состояние 1 любой порции газа, находящегося в сосуде. Нас будет интересовать та порция, которая останется в баллоне после последующего стравливания газа. Обозначим её количество вещества n (на рисунке количество вещества стравленного газа обозначено Dn) и её объем до стравливания (т.е. в состоянии 1) V₁.

Стравливание происходит очень быстро в результате резкого открывания выходного крана. Как только давление упадет до атмосферного давления р₀, кран также резко закрывают. Интересующая нас порция в результате стравливания занимает место ушедшего из баллона газа, т.е. расширяется. Будем считать, что из-за быстроты процесса расширяющийся газ не успевает обменяться теплом с окружением, и его расширение произойдет адиабатически. При этом, несмотря на быстроту, процесс будем считать равновесным. Состояние газа после адиабатического расширения назовем состоянием 0. Очевидно, что в этом состоянии температура газа будет меньше комнатной.

С течением времени газ в закрытом сосуде будет нагреваться и его температура достигнет комнатной. А поскольку объем газа останется неизменным, то давление повысится до значения р₂. Состояние после изохорного нагрева назовем состоянием 2.

Описанные состояния и процессы в осях представлены на следующем рисунке

 

 

Пунктиром обозначена изотерма комнатной температуры T₁₂, на которой лежат состояния 1 и 2.

Состояния 1 и 0 связаны уравнением Пуассона:

.

Состояния 1 и 2 связаны законом изотермы:

.

Подставляя отношение объёмов в предыдущее соотношение, получаем:

.

Такова суть метода Клемана-Дезорма, позволяющего по трём точно измеренным давлениям: р₀, р₁, р₂определить показатель адиабаты g, который равен искомому отношению теплоёмкостей:

(см. теоретическое введение).

В эксперименте прямо измеряются избыточные давления

и Þ i=1, 2.

Тогда

Итак:

(1)

К сожалению, реальный физический эксперимент не позволяет использовать приведённое выражение g в качестве расчетной формулы при единичном измерении Dр₁, Dр₂. Этому препятствуют сразу два обстоятельства.

Во-первых, для справедливости выражения необходимо, чтобы при стравливании остающийся газ расширялся равновесно. Равновесными называются процессы, представляющие временную последовательность равновесных состояний. Именно равновесные процессы изображаются на pV-диаграмме. Абсолютно точно они реализуются, если скорость их протекания бесконечно мала. Чем меньше избыточное давление газа, тем ближе реальный процесс его расширения при стравливании к равновесному. Поэтому формула (1) «работает» только при .

Во-вторых, состояние 0, когда адиабатическое расширение оставшегося газа закончилось, а нагрев ещё не начался, угадать невозможно. Либо кран будет перекрыт раньше, чем в сосуде установится атмосферное давление (что мало вероятно), либо (скорее всего, так оно и будет) позже. pV-диаграммы двух этих случаев представлены ниже.

Из рисунков видно, что реальное значение Dр₂ в первом случае будет больше, а во втором – меньше, чем то, которое входит в формулу (1). Т.е. она выполняется при условии , где t – реальное время стравливания, а t* - то, которое нужно по методу.

Поэтому в качестве расчётной формулы мы примем соотношение:

.

Расчётная формула такого вида предъявляет определённые требования к методике эксперимента. Необходимо проводить серию измерений Dр₂ при монотонно изменяющихся Dр₁ и t, с тем чтобы выявить тенденцию в изменении показателя адиабаты, рассчитываемого по формуле (1). А затем методом экстраполяции определять истинное значение g**.

В заключение несколько слов о точности вычислений. В данной работе исследуется воздух, представляющий собой смесь молекулярного азота N₂ и молекулярного кислорода О₂. Т.е. исследуемый идеальный газ является двухатомным. В теоретическом введении указывалось, что в этом случае нужно решать задачу экспериментально обоснованного выбора между двумя возможными значениями: g=1.29, предсказываемого классической теорией и g=1.40, предсказываемого квантовой теорией. Кроме этого, между 1.29 и 1.40 находится значение g=1.33 многоатомных нелинейных жёстких молекул. Для того, чтобы выявить разницу между этими, достаточно близкими, числами и отношения , и соответствующие логарифмы должны вычисляться с точностью до третьего знака после запятой. Поэтому упрощающие формулы типа

в рабочем диапазоне избыточных давлений мм рт.ст. при атмосферном давлении р₀=750 мм рт.ст. применять нельзя.

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Теоретическое введение.

Основы термодинамики и молекулярно-кинетической теории

(доц. А.Ю. Музычка)………………………………………………..4

1. Механический подход к описанию природы……………..4

2. Термодинамический подход к описанию

явлений природы………………………………………………5

3. Элементы молекулярно-кинетической теории и статистической физики………………………………………………...10

4. Теплоёмкости идеального газа……………………………12

5. Вывод уравнения Пуассона……………………………….13

6. Элементарная теория теплоёмкостей идеальных газов…14

7. Элементы термодинамики твёрдых тел………………….17

 

Лабораторная работа № 110

Определение отношения С_p/С_V для воздуха методом Клемана-Дезорма

 

Теоретическое введение

" ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ И МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ"

 

Механический подход к описанию природы

В механике объектом изучения являются тела, поведение которых описывается законами механического движения, т.е. тела, движущиеся как целое. Тела объединяются в механические системы. В качестве примеров механических систем можно привести солнечную систему, два шарика на пружинке и т.д. Более того, рассматривая поведение только одного тела, говорят, что имеется механическая система, состоящая из одного тела.

Поведение системы с течением времени заключается в смене ее состояний. Для того, чтобы описать состояние системы материальных точек необходимо задать их положения и скорости. Для описания состояния системы, в которую входят протяженные твердые тела, наряду с положениями и скоростями их центров масс необходимо задать ориентации тел и их угловые скорости.

Таким образом, задание состояния механической системы представляет собой задание совокупности чисел, каждое из которых может измениться при изменении состояния, т.е. с течением времени. Часто бывает так, что изменение одного числа влечет за собой изменение других чисел. Например, изменение положения центра масс твердого тела приводит к изменению положений других его материальных точек. Дадим определение: совокупность независимых величин, однозначно определяющих состояние механической системы, называется совокупностью динамических переменных. Отсюда ясно, что эволюция системы, т.е. смена ее состояний с течением времени, описывается как изменение с течением времени ее динамических переменных.

Всё, что может быть выражено через динамические переменные, представляет собой функцию механического состояния системы. Одной из таких функций является механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергий. Еще одно определение: степенью свободы механической системы называется динамическая переменная, от которой зависит полная механическая энергия системы.

Приведем простой пример. Рассмотрим механическую систему, состоящую из одной материальной точки в однородном и изотропном пространстве, т.е. в отсутствие каких бы то ни было силовых полей. Понятно, что если на тело не действуют никакие силы, то ее потенциальная энергия не меняется при переходе из одного положения в другое и может быть принята за 0. Система описывается шестью динамическими переменными: тремя пространственными координатами и тремя компонентами скорости. Но, поскольку, полная механическая энергия системы представляет собой только кинетическую энергию, то у системы только три степени свободы, которыми являются компоненты скорости по взаимно перпендикулярным осям: v_x, v_y, v_z.

Механика ставит своей задачей точное описание эволюции механической системы и дает ответ на вопрос, что для этого необходимо. Необходимо и достаточно точно задать начальное состояние и стационарные поля сил, действующих на тела системы.

 

12345Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II. ЭВОЛЮЦИЯ ДВУХ РАЗНЫХ ПОДХОДОВ
2. III. Попытки соединения цивилизационного подхода с формационным.
3. І. Современные подходы к пониманию права.
4. А как решает проблему здоровья врач натуропат в подходе к больному?
5. Акриловые материалы холодного отверждения. Классификация эластичных базисных материалов. Сравнительная оценка полимерных материалов для искусственных зубов с материалами другой химической природы.
6. Альтернативный подход к принятию кредитных решений
7. Анализ подходов и методов решения задачи
8. Афоризмы об истолковании природы и царстве человека
9. Биомеханический анализ техники служебно-прикладных единоборств. Техника ударных, бросковых действий, действия в партере.
10. В контексте деятельностного подхода
11. В то же время, для динамического подхода было характерным построение вертикальных связей, объединяющих первичное с вторичным (функциональная связь) и высшее с низшим (иерархическая связь).
12. В чем заключаются особенности использования компетентностного подхода при обучении в юридическом вузе?