Элементы термодинамики твёрдых тел

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5

Однородное равновесно деформированное твёрдое тело характеризуется векторным полем смещений материальных точек тела из их положений (x, y, z) в отсутствие деформации. Это векторное поле порождает однородные скалярные поля относительных деформаций растяжения-сжатия:

и деформаций сдвигов:

Поля относительных деформаций растяжения-сжатия связаны с однородными полями нормальных механических напряжений . Поля деформаций сдвигов - с однородными полями касательных напряжений .

Элементарная работа твёрдого тела над окружением – это работа сил упругости при изменениях деформаций растяжений и сдвигов:

Поэтому в общем случае однородного твёрдого тела его равновесное термодинамическое состояние описывается двенадцатью термодинамическими параметрами, шестью внешними:

и шестью внутренними:

В изотропном случае, который реализуется в случае поликристалла или кристалла с кубической симметрией все оси равноправны и число ТД-параметров сокращается до четырёх, два внешних:

и два внутренних:

Процесс нагревания твёрдого тела в свободном состоянии происходит при постоянном давлении, но работа упругих сил при этом настолько мала, что ею можно пренебречь, как и разницей между теплоёмкостями в различных ТД-процессах твёрдого тела. Поэтому любое твёрдое тело при данной температуре характеризуется одной единственной теплоёмкостью С(Т).

Классический закон о равном распределении внутренней энергии по степеням свободы, о котором шла речь в параграфе 3, приводит к закону Дюлонга-Пти. Полная теплоёмкость кристаллической решётки химически простого твёрдого тела определяется выражением:

где n - количество вещества химического элемента, атомы которого составляют кристалл. Покажем, как это получается.

Первый закон термодинамики в пренебрежении работой имеет вид:

Каждый атом решётки при конечной температуре хаотически движется вокруг своего положения механического равновесия (точка О), удерживаемый возвращающей силой. Из-за малости смещений её можно считать упругой. Тогда движения атома рассматриваются как возбуждения трёхмерного гармонического осциллятора. Трёхмерную «пружинку» следует представлять суперпозицией трёх одномерных. На каждый одномерный осциллятор приходится две степени свободы: одна степень связана с кинетической энергией движения атома, а вторая – с потенциальной энергией деформированной пружинки. Значит, количество степеней свободы, связанных с одним узлом решётки

Общее количество степеней свободы решётки

где N – число узлов решётки. В соответствие с законом равнораспределения:

Следовательно,

Подставляя в первый закон ТД, получаем:

что и требовалось доказать.

Случай химически сложной кристаллической решётки рассматривается как наложение друг на друга нужного количества простых. В любом случае, теплоёмкость кристаллической решётки не зависит от температуры.

Оказывается, этот вывод классической статистической физики выполняется только при достаточно высоких (сравнимых с комнатными) температурах. Эксперимент при температурах, близких к абсолютному нулю, показывает температурную зависимость теплоёмкости. Дело в том, что законы классической статистической физики «работают» только при высоких температурах. Вблизи абсолютного нуля для кристаллической решётки выполняются законы квантовой статистики.

Лабораторная работа № 110

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ С_р/С_V ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА

Цель лабораторной работы

Целью данной лабораторной работы является усвоение закономерностей молекулярной физики и термодинамики.

Задачи лабораторной работы

Задачей работы является определение отношения теплоемкостей идеального газа при постоянном давлении и при постоянном объеме. На основании полученной в эксперименте величины студент должен определить количество степеней свободы, приходящееся на одну молекулу идеального газа. Другими словами, название данной работы можно было бы сформулировать так: «Экспериментальное определение числа степеней свободы одной молекулы исследуемого идеального газа».

Приборы и принадлежности

Лабораторный комплекс ЛКТ-5, стеклянный баллон, груша-помпа, мембранный манометр, силиконовые шланги, тройники для шлангов.

Вывод расчётной формулы

Изложим общую канву метода Клемана-Дезорма.

Если в сосуд объёмом V₀₂ с установившимся атмосферным давлением подкачать немного газа, то давление в сосуде р₁ станет больше атмосферного (р₀), а температура через некоторое (достаточно короткое) время станет равной комнатной. Таким образом, мы получим равновесное состояние 1 любой порции газа, находящегося в сосуде. Нас будет интересовать та порция, которая останется в баллоне после последующего стравливания газа. Обозначим её количество вещества n (на рисунке количество вещества стравленного газа обозначено Dn) и её объем до стравливания (т.е. в состоянии 1) V₁.

Стравливание происходит очень быстро в результате резкого открывания выходного крана. Как только давление упадет до атмосферного давления р₀, кран также резко закрывают. Интересующая нас порция в результате стравливания занимает место ушедшего из баллона газа, т.е. расширяется. Будем считать, что из-за быстроты процесса расширяющийся газ не успевает обменяться теплом с окружением, и его расширение произойдет адиабатически. При этом, несмотря на быстроту, процесс будем считать равновесным. Состояние газа после адиабатического расширения назовем состоянием 0. Очевидно, что в этом состоянии температура газа будет меньше комнатной.

С течением времени газ в закрытом сосуде будет нагреваться и его температура достигнет комнатной. А поскольку объем газа останется неизменным, то давление повысится до значения р₂. Состояние после изохорного нагрева назовем состоянием 2.

Описанные состояния и процессы в осях представлены на следующем рисунке

Пунктиром обозначена изотерма комнатной температуры T₁₂, на которой лежат состояния 1 и 2.

Состояния 1 и 0 связаны уравнением Пуассона:

Состояния 1 и 2 связаны законом изотермы:

Подставляя отношение объёмов в предыдущее соотношение, получаем:

Такова суть метода Клемана-Дезорма, позволяющего по трём точно измеренным давлениям: р₀, р₁, р₂определить показатель адиабаты g, который равен искомому отношению теплоёмкостей:

(см. теоретическое введение).

В эксперименте прямо измеряются избыточные давления

и Þ i=1, 2.

Тогда

Итак:

(1)

К сожалению, реальный физический эксперимент не позволяет использовать приведённое выражение g в качестве расчетной формулы при единичном измерении Dр₁, Dр₂. Этому препятствуют сразу два обстоятельства.

Во-первых, для справедливости выражения необходимо, чтобы при стравливании остающийся газ расширялся равновесно. Равновесными называются процессы, представляющие временную последовательность равновесных состояний. Именно равновесные процессы изображаются на pV-диаграмме. Абсолютно точно они реализуются, если скорость их протекания бесконечно мала. Чем меньше избыточное давление газа, тем ближе реальный процесс его расширения при стравливании к равновесному. Поэтому формула (1) «работает» только при .

Во-вторых, состояние 0, когда адиабатическое расширение оставшегося газа закончилось, а нагрев ещё не начался, угадать невозможно. Либо кран будет перекрыт раньше, чем в сосуде установится атмосферное давление (что мало вероятно), либо (скорее всего, так оно и будет) позже. pV-диаграммы двух этих случаев представлены ниже.

Из рисунков видно, что реальное значение Dр₂ в первом случае будет больше, а во втором – меньше, чем то, которое входит в формулу (1). Т.е. она выполняется при условии , где t – реальное время стравливания, а t* - то, которое нужно по методу.

Поэтому в качестве расчётной формулы мы примем соотношение:

Расчётная формула такого вида предъявляет определённые требования к методике эксперимента. Необходимо проводить серию измерений Dр₂ при монотонно изменяющихся Dр₁ и t, с тем чтобы выявить тенденцию в изменении показателя адиабаты, рассчитываемого по формуле (1). А затем методом экстраполяции определять истинное значение g**.

В заключение несколько слов о точности вычислений. В данной работе исследуется воздух, представляющий собой смесь молекулярного азота N₂ и молекулярного кислорода О₂. Т.е. исследуемый идеальный газ является двухатомным. В теоретическом введении указывалось, что в этом случае нужно решать задачу экспериментально обоснованного выбора между двумя возможными значениями: g=1.29, предсказываемого классической теорией и g=1.40, предсказываемого квантовой теорией. Кроме этого, между 1.29 и 1.40 находится значение g=1.33 многоатомных нелинейных жёстких молекул. Для того, чтобы выявить разницу между этими, достаточно близкими, числами и отношения , и соответствующие логарифмы должны вычисляться с точностью до третьего знака после запятой. Поэтому упрощающие формулы типа

в рабочем диапазоне избыточных давлений мм рт.ст. при атмосферном давлении р₀=750 мм рт.ст. применять нельзя.

⇐ Предыдущая 1 2 3 45