Теплоёмкости идеального газа

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 5Следующая ⇒

Полной теплоемкостью системы (или просто ее теплоемкостью) называют физическую величину, численно равную теплоте, необходимой для нагревания системы на один кельвин. Т.е.

Поскольку температура - функция состояния, а dQ зависит от процесса, то С тоже является характеристикой процесса. Мы будем рассматривать процессы идеального газа при постоянном объеме и при постоянном давлении. Их характеризуют соответственно теплоемкость при постоянном объеме С_V и теплоемкость при постоянном давлении С_р.

Работа при постоянном объеме dА=0 т.к. dV=0. Следовательно, I-й закон ТД в применении к этому процессу будет выглядеть так:

С_V× dT=dU.

Из предыдущей главы следует, что внутренняя энергия данной массы данного идеального газа зависит только от температуры, следовательно, дифференциал внутренней энергии идеального газа в любом случае равен С_V× dT, где

С_V= .

Отсюда I-й закон ТД в применении к процессу газа при постоянном давлении примет вид:

С_р× dT=С_V× dT+р× dV.

А это с учётом уравнения состояния идеального газа приводит к соотношению Майера для теплоемкостей произвольного количества идеального газа:

и для его молярных теплоемкостей:

С_р=С_V+R.

Значит, полная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении

Из уравнения состояния идеального газа при т=const:

следует, что при Т=const

PV=const.

Это соотношение называется уравнением изотермы. Аналогичное соотношение для адиабатического процесса, т.е. процесса, идущего без теплообмена с окружением называется уравнением адиабаты или уравнением Пуассона:

PV^g=const

где показатель адиабаты . Следовательно, показатель адиабаты идеального газа

Т.е. если измерить показатель адиабаты, то из этого соотношения можно найти количество степеней свободы одной молекулы идеального газа

Вывод уравнения Пуассона

В случае адиабаты I-й закон ТД принимает вид:

0=С_V× dT+р× dV.

Из уравнения состояния

Из соотношения Майера

Следовательно

Подставим в I-й закон:

Раскроем скобки и приведем подобные члены по дифференциалам p и V:

Поделим это уравнение на . В результате получим:

Поделим на C_V¹ 0:

Обозначим - показатель адиабаты, следовательно,

PV^g=const

Элементарная теория теплоемкостей

Идеальных газов

Рассмотрим возможные случаи.

1) Одноатомный идеальный газ.

Одноатомную молекулу можно представить как материальную точку, движущуюся в однородном и изотропном пространстве. Следовательно, она имеет три степени свободы. В этом случае показатель адиабаты

2) Двухатомный идеальный газ, состоящий из жестких молекул.

Кинетическая энергия одной молекулы связана, во-первых, с поступательным движением центра масс молекулы. Очевидно, что эти движения имеет три степени свободы. Во-первых, молекула совершает вращательное движение вокруг центра масс молекулы. Это движение можно рассматривать как суперпозицию вращений вокруг трех взаимно перпендикулярных осей x, y, z, проведенных через центр масс молекулы. Тогда с каждой из осей связана энергия

где J_i – осевые моменты инерции, а w_i – соответствующие угловые скорости. Если оси вращения направить так, как указано на рисунке, то момент инерции оси, совпадающей с осью молекулы, равен 0. Следовательно, вместо трех вращательных степеней свободы реализуется только две. Таким образом, i=3+2=5. Следовательно,

В большинстве многоатомных молекулах с количеством атомов большим двух, атомы не «выстраиваются» по одной прямой (исключением является, например углекислый газ СО₂). Поэтому вращательных степеней свободы будет уже три, тогда i=6 и для жёстких молекул

3) Двухатомный идеальный газ, состоящий из нежёстких молекул.

Проще всего такую молекулу представить как одномерный осциллятор, т.е. точечные массы атомов, соединенные пружинкой, которая может только сжиматься и разжиматься, но не может изгибаться. С колебательным движением связана кинетическая энергия движения атомов относительно друг друга (одна степень свободы) и потенциальная энергия сжатой пружины, связанная с расстоянием между атомами (еще одна степень свободы). Таким образом, колебательное движение «занимает» две степени свободы. При этом сохраняются 5 степеней свободы поступательного и вращательного движения. Итого i=5+2=7, следовательно

С точки зрения классической механики не существует причин, которые делали бы связь между атомами в молекуле абсолютно жесткой. Поэтому классическая физика для двухатомного газа предсказывает значение g=1, 29 при любой температуре. Но молекула является микроскопическим объектом и подчиняется законам не классической, а квантовой механики. По этим законам для того, заставить осциллятор двигаться, ему нужно сообщить порцию энергии, определяемую собственной частотой колебаний осциллятора n₀ по следующей формуле:

De=hn₀

где постоянная Планка h=6, 63× 10^-34 Дж× с. Тепловые возбуждения могут «заселить» квантовый осциллятор только при условии

kT @ hn₀

Но собственные частоты молекулярных «пружинок» огромны, и для того, чтобы выполнялось это соотношение, температура должна достигать ~10³К. При комнатных температурах

kT < < hn₀,

поэтому связь между атомами в молекуле является «замороженной» и абсолютно жесткой. Таким образом, квантовая механика предсказывает значение g=1, 4 при комнатной температуре.

Исследуемый в одной из лабораторных работ сборника воздух является двухатомным газом при комнатной температуре, и поэтому, выполняя работу, студент сам может проверить справедливость классического или квантового предсказания.

⇐ Предыдущая 1 2 345 Следующая ⇒